tangente de (x^3+2x)^3,em x=4 — solução passo a passo

Vamos procurar a tangente em

x = 4

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x)}^{3})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{3} + 2 x

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x)

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x)) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

3 \cdot (3 x^{2} + 2) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

Vamos calcular

f (4)

{(4^{3} + 2 \cdot 4)}^{3}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 4

8

{(64 + 8)}^{3}

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

64 + 8

72

72^{3}

ⓘ Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

72^{3}

72 \cdot 72 \cdot 72

373 248

373 248

O ponto de tangência é (

4

373 248

)

Vamos calcular

f^{'} (4)

3 \cdot (3 \cdot 4^{2} + 2) \cdot {(4^{3} + 2 \cdot 4)}^{2}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 4

8

3 \cdot (3 \cdot 16 + 2) \cdot {(64 + 8)}^{2}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

64 + 8

72

3 \cdot (48 + 2) \cdot 72^{2}

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

48 + 2

50

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

72^{2}

72 \cdot 72

5184

3 \cdot 50 \cdot 5184

ⅰ

3 \cdot 50

150

150 \cdot 5184

ⅰ

150 \cdot 5184

(100 + 50) \cdot 5184

100 \cdot 5184 + 50 \cdot 5184

518 400 + 259 200

777 600

777 600

O declive é

f^{'} (4)

777 600

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = 777 600 \cdot (x - 4) + 373 248

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = 373 248 - 777 600 \cdot 4

373 248 - 777 600 \cdot 4

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

777 600 \cdot 4

3 110 400

373 248 - 3 110 400

ⓘ Partimos de

373 248

e recuamos

3 110 400

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

373 248 - 3 110 400

-2 737 152

-2 737 152

▶Tangente:

y = 777 600 x - 2 737 152