tangente de f(x)=1/x em x=-2 — solução passo a passo

Vamos verificar o domínio antes de calcular a tangente:

x \neq 0

Vamos procurar a tangente em

x = -2

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{1}{x}

x^{-1}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{-1})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{-1})

-1 \cdot x^{-2}

-1 \cdot x^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot x^{-2}

- x^{-2}

- x^{-2}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- x^{-2}

- \frac{1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

Vamos calcular

f (-2)

\frac{1}{-2}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{1}{-2}

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

O ponto de tangência é (

-2

- \frac{1}{2}

)

Vamos calcular

f^{'} (-2)

- \frac{1}{{(-2)}^{2}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

- \frac{1}{4}

O declive é

f^{'} (-2)

- \frac{1}{4}

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = - \frac{1}{4} \cdot (x + 2) - \frac{1}{2}

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot (-2))

- \frac{1}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot (-2))

- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot 2

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{4} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{4}

\frac{2}{4}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

4

, o mínimo múltiplo comum de

2

4

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}

\frac{-1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{4}

\frac{- 1 \cdot 2 - 2}{4}

\frac{- 1 \cdot 2 - 2}{4}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 2

2

\frac{- 2 - 2}{4}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 - 2

-4

- \frac{4}{4}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{4}

-1

-1

y = - \frac{1}{4} \cdot x - 1

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{4}

\frac{x}{4}

▶Tangente:

y = - \frac{x}{4} - 1