tangente de f(x)=3tan(x) em x=pi/3

Vamos procurar a tangente em

x = \frac{π}{3}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (3 \cdot \tan (x))

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 \cdot \tan (x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x))

■A derivada de

\tan (x)

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

3 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{3 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{3}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{3}{{\cos (x)}^{2}}

Vamos calcular

f (\frac{π}{3})

3 \cdot \tan (\frac{π}{3})

ⓘ A tangente é o quociente entre a ordenada (eixo vertical) e a abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

\frac{π}{3}

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, desde que a abcissa não seja nula, é um valor notável:

\tan (\frac{π}{3})

\sqrt{3}

3 \cdot \sqrt{3}

O ponto de tangência é (

\frac{π}{3}

3 \cdot \sqrt{3}

)

Vamos calcular

f^{'} (\frac{π}{3})

\frac{3}{{\cos (\frac{π}{3})}^{2}}

ⓘ O cosseno corresponde à abcissa (eixo horizontal) do ponto atingido na circunferência trigonométrica após uma rotação de

\frac{π}{3}

radianos a partir do semieixo horizontal positivo, é um valor notável:

\cos (\frac{π}{3})

\frac{1}{2}

\frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{2}}

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{1}{2})}^{2}

\frac{1}{2^{2}}

\frac{3}{\frac{1}{2^{2}}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

\frac{3}{\frac{1}{4}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{3}{\frac{1}{4}}

3 \cdot 4

3 \cdot 4

ⅰ

3 \cdot 4

12

12

O declive é

f^{'} (\frac{π}{3})

12

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = 12 \cdot (x - \frac{π}{3}) + 3 \cdot \sqrt{3}

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = 3 \cdot \sqrt{3} - 12 \cdot \frac{π}{3}

3 \cdot \sqrt{3} - 12 \cdot \frac{π}{3}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

12 \cdot \frac{π}{3}

\frac{12 π}{3}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{12 π}{3}

- 4 π

3 \cdot \sqrt{3} - 4 π

▶Tangente:

y = 12 x + 3 \cdot \sqrt{3} - 4 π