tangente de f(x)=(1+4x)^9,(0,1) — solução passo a passo

Vamos procurar a tangente em

x = 0

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(1 + 4 x)}^{9})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

1 + 4 x

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 + 4 x)}^{9})

9 \cdot \frac{d}{d x} (1 + 4 x) \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

9 \cdot \frac{d}{d x} (1 + 4 x) \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

9 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (4 x)) \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

\frac{d}{d x} (4 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

9 \cdot 4 \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

ⅰ

9 \cdot 4

36

36 \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

36 \cdot {(4 x + 1)}^{8}

Vamos calcular

f (0)

{(1 + 4 \cdot 0)}^{9}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

4 \cdot 0

0

{(1 + 0)}^{9}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

O ponto de tangência é (

0

1

)

Vamos calcular

f^{'} (0)

36 \cdot {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

4 \cdot 0

0

36 \cdot {(0 + 1)}^{8}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

36

O declive é

f^{'} (0)

36

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = 36 x + 1

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = 1 - 36 \cdot 0

1 - 36 \cdot 0

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

36 \cdot 0

0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

▶Tangente:

y = 36 x + 1