tangente de f(x)=(x+2)/(x^2-9) em x=1

Vamos verificar o domínio antes de calcular a tangente:

x \in ℝ \ {-3; 3}

Vamos procurar a tangente em

x = 1

⇥1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{x^{2} - 9})

⇥Para

p1

x + 2

q2

x^{2} - 9

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x + 2)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 2)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

1

⇥3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{1 \cdot (x^{2} - 9) - (x + 2) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (x + 2) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(x + 2) \cdot 2

x \cdot 2 + 4

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (x \cdot 2 + 4) \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (x \cdot 2 + 4) \cdot x

- (2 x^{2} + 4 x)

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (2 x^{2} + 4 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 x^{2} + 4 x)

- 2 x^{2} - 4 x

⇥

\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x^{2} - 2 x^{2}

- x^{2}

⇥

\frac{- x^{2} - 9 - 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- x^{2} - 9 - 4 x

- (x^{2} + 9 + 4 x)

⇥

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥5) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{x^{2} - 9})

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

- \frac{x^{2} + 4 x + 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

Vamos calcular

f (1)

⇥

\frac{1 + 2}{1^{2} - 9}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

1 - 9

-8

⇥

\frac{3}{-8}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{3}{-8}

- \frac{3}{8}

⇥

- \frac{3}{8}

O ponto de tangência é (

1

- \frac{3}{8}

)

Vamos calcular

f^{'} (1)

⇥

- \frac{1^{2} + 4 \cdot 1 + 9}{{(1^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 9

-8

⇥

- \frac{1 + 4 + 9}{{(-8)}^{2}}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 4

5

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

⇥

- \frac{5 + 9}{64}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 + 9

14

⇥

- \frac{14}{64}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{14}{64}

- \frac{7 \cdot 2}{32 \cdot 2}

- \frac{7}{32}

⇥

- \frac{7}{32}

O declive é

f^{'} (1)

- \frac{7}{32}

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = - \frac{7}{32} \cdot (x - 1) - \frac{3}{8}

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = - \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

⇥

- \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

32

, o mínimo múltiplo comum de

8

32

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

\frac{-3 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{7}{32}

\frac{- 3 \cdot 4 + 7}{32}

⇥

\frac{- 3 \cdot 4 + 7}{32}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{- 12 + 7}{32}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 12 + 7

-5

⇥

- \frac{5}{32}

⇥

y = - \frac{7}{32} \cdot x - \frac{5}{32}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{7}{32} \cdot x

\frac{7 x}{32}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{7 x}{32} - \frac{5}{32}

\frac{- 7 x - 5}{32}

⇥

y = \frac{- 7 x - 5}{32}

ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 7 x - 5

- (7 x + 5)

▶Tangente:

y = - \frac{7 x + 5}{32}