tangente de f(x)=(x^2)/(x+1) em x=2

Vamos verificar o domínio antes de calcular a tangente:

x \neq -1

Vamos procurar a tangente em

x = 2

⇥1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + 1})

⇥Para

p1

x^{2}

q2

x + 1

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x + 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 1)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

1

⇥4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 1) - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 1) - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (x + 1)

2 x + 2

⇥

\frac{x \cdot (2 x + 2 - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x - x

x

⇥

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥5) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + 1})

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

Vamos calcular

f (2)

⇥

\frac{2^{2}}{2 + 1}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 1

3

⇥

\frac{4}{3}

O ponto de tangência é (

2

\frac{4}{3}

)

Vamos calcular

f^{'} (2)

⇥

\frac{2 \cdot (2 + 2)}{{(2 + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

2 + 2

4

2 + 1

3

⇥

\frac{2 \cdot 4}{3^{2}}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

\frac{8}{9}

O declive é

f^{'} (2)

\frac{8}{9}

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = \frac{8}{9} \cdot (x - 2) + \frac{4}{3}

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = \frac{4}{3} - \frac{8}{9} \cdot 2

⇥

\frac{4}{3} - \frac{8}{9} \cdot 2

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{8}{9} \cdot 2

\frac{8 \cdot 2}{9}

\frac{16}{9}

⇥

\frac{4}{3} - \frac{16}{9}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

9

, o mínimo múltiplo comum de

3

9

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{4}{3} - \frac{16}{9}

\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{16}{9}

\frac{4 \cdot 3 - 16}{9}

⇥

\frac{4 \cdot 3 - 16}{9}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

⇥

\frac{12 - 16}{9}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

12 - 16

-4

⇥

- \frac{4}{9}

⇥

y = \frac{8}{9} \cdot x - \frac{4}{9}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{8}{9} \cdot x

\frac{8 x}{9}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{8 x}{9} - \frac{4}{9}

\frac{8 x - 4}{9}

▶Tangente:

y = \frac{8 x - 4}{9}