tangente de y=(5x)/(x+2),(3,3) — solução passo a passo

Vamos verificar o domínio antes de calcular a tangente:

x \neq -2

Vamos procurar a tangente em

x = 3

⇥1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{x + 2})

⇥Para

p1

5 x

q2

x + 2

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (5 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x)

5

⇥

5

⇥3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x + 2)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 2)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

⇥

1

⇥4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{5 \cdot (x + 2) - 5 x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}

⇥

\frac{5 \cdot (x + 2) - 5 x}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

5 \cdot (x + 2)

5 x + 10

⇥

\frac{5 x + 10 - 5 x}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

5 x - 5 x

0

⇥

\frac{0 + 10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 10

10

⇥

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥5) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{x + 2})

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

⇥

\frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

Vamos calcular

f (3)

⇥

\frac{5 \cdot 3}{3 + 2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

3 + 2

5

⇥ⅰ

5 \cdot 3

15

⇥

\frac{15}{5}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

5

, o seu máximo divisor comum:

\frac{15}{5}

3

⇥

3

O ponto de tangência é (

3

3

)

Vamos calcular

f^{'} (3)

⇥

\frac{10}{{(3 + 2)}^{2}}

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

3 + 2

5

⇥

\frac{10}{5^{2}}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

⇥

\frac{10}{25}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

5

, o seu máximo divisor comum:

\frac{10}{25}

\frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5}

\frac{2}{5}

⇥

\frac{2}{5}

O declive é

f^{'} (3)

\frac{2}{5}

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = \frac{2}{5} \cdot (x - 3) + 3

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = 3 - \frac{2}{5} \cdot 3

⇥

3 - \frac{2}{5} \cdot 3

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{5} \cdot 3

\frac{2 \cdot 3}{5}

\frac{6}{5}

⇥

3 - \frac{6}{5}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

3 - \frac{6}{5}

\frac{5 \cdot 3 - 6}{5}

⇥

\frac{5 \cdot 3 - 6}{5}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 3

15

⇥

\frac{15 - 6}{5}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

15 - 6

9

⇥

\frac{9}{5}

⇥

y = \frac{2}{5} \cdot x + \frac{9}{5}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{5} \cdot x

\frac{2 x}{5}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2 x}{5} + \frac{9}{5}

\frac{2 x + 9}{5}

▶Tangente:

y = \frac{2 x + 9}{5}