tangente de y=(-8x)/(x^2+1),(-1,4)

Vamos verificar o domínio antes de calcular a tangente:

x \in ℝ

Vamos procurar a tangente em

x = -1

⇥1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (- \frac{8 x}{x^{2} + 1})

⇥Para

p1

8 x

q2

x^{2} + 1

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (8 x)

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (8 x)

8

⇥

8

⇥3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 8 x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

8 \cdot 2

16

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

⇥

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{8 \cdot (x^{2} + 1) - 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

\frac{- 8 \cdot (x^{2} + 1) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{- 8 \cdot (x^{2} + 1) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 8 \cdot (x^{2} + 1)

- (8 x^{2} + 8)

⇥

\frac{- (8 x^{2} + 8) + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (8 x^{2} + 8)

- 8 x^{2} - 8

⇥

\frac{- 8 x^{2} - 8 + 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 8 x^{2} + 16 x^{2}

8 x^{2}

⇥

\frac{8 x^{2} - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥5) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{8 x}{x^{2} + 1})

\frac{8 x^{2} - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

⇥

\frac{8 x^{2} - 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Vamos calcular

f (-1)

⇥

- \frac{8 \cdot (-1)}{{(-1)}^{2} + 1}

⇥ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

8 \cdot (-1)

-8

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

- (\frac{-8}{1 + 1})

⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-8}{1 + 1})

\frac{8}{1 + 1}

⇥

\frac{8}{1 + 1}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 1

2

⇥

\frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

⇥

4

O ponto de tangência é (

-1

4

)

Vamos calcular

f^{'} (-1)

⇥

\frac{8 \cdot {(-1)}^{2} - 8}{{({(-1)}^{2} + 1)}^{2}}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

8 \cdot 1

8

⇥

\frac{8 - 8}{{(1 + 1)}^{2}}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

8 - 8

0

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 1

2

⇥

\frac{0}{2^{2}}

⇥

0

O declive é

f^{'} (-1)

0

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = 0 \cdot (x + 1) + 4

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = 4 - 0 \cdot (-1)

⇥

4 - 0 \cdot (-1)

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot (-1)

0

⇥

4 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

4 + 0

4

⇥

4

⇥

y = 0 \cdot x + 4

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x

0

⇥

y = 0 + 4

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 4

4

▶Tangente:

y = 4