tangente de y=x^3+x — solução passo a passo

Não foi indicada uma abcissa: vamos procurar a tangente no ponto geral

x = a

, para

a

real

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{3} + x)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} + x)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 1

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 1

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

3 x^{2} + 1

Vamos calcular

f (a)

O ponto de tangência é (

a

a^{3} + a

)

Vamos calcular

f^{'} (a)

O declive é

f^{'} (a)

3 a^{2} + 1

A tangente passa por este ponto com este declive:

y = (3 a^{2} + 1) \cdot (x - a) + (a^{3} + a)

Vamos calcular a ordenada na origem:

b = (a^{3} + a) - (3 a^{2} + 1) \cdot a

(a^{3} + a) - (3 a^{2} + 1) \cdot a

a^{3} + a - (3 a^{2} + 1) \cdot a

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (3 a^{2} + 1) \cdot a

- (3 a^{3} + a)

a^{3} + a - (3 a^{3} + a)

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 a^{3} + a)

- 3 a^{3} - a

a^{3}

+ a

- 3 a^{3}

- a

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

a^{3} - 3 a^{3}

-2 a^{3}

a - a

0

- 2 a^{3} + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- 2 a^{3} + 0

-2 a^{3}

- 2 a^{3}

▶Tangente:

y = (3 a^{2} + 1) \cdot x - 2 a^{3}