transformada inversa de Laplace de 1/(s^2-s)

⇥1) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1}

⇥Para o fator simples

s

e a sua raiz

0

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

s \cdot (s - 1)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥2) Vamos resolver em

ℝ

(0 - 1) \cdot A = 1

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 1

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot A

- A

⇥

- A = 1

⇥ⓘ Mudamos o sinal de ambos os membros

⇥Solução obtida:

A = -1

⇥Para o fator simples

s - 1

e a sua raiz

1

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

s \cdot (s - 1)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥3) Vamos resolver em

ℝ

1 \cdot B = 1

⇥Solução obtida:

B = 1

⇥4) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 1)} = - \frac{1}{s} + \frac{1}{s - 1}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{1}{s - 1}

\frac{\exp (t)}{0!}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{1}{s}

\frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

■Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot t

0

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

⇥

\frac{\exp (t)}{1} - \frac{1}{1}

▶Transformada inversa de Laplace:

\exp (t) - 1