transformada inversa de Laplace de (2s+1)/(s^2+s)

⇥1) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{2 s + 1}{s \cdot (s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1}

⇥Para o fator simples

s

e a sua raiz

0

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

s \cdot (s + 1)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥2) Vamos resolver em

ℝ

(0 + 1) \cdot A = 2 \cdot 0 + 1

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

■Um produto com um fator nulo é nulo:

2 \cdot 0

0

⇥

A = 0 + 1

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

⇥Solução obtida:

A = 1

⇥Para o fator simples

s + 1

e a sua raiz

-1

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

s \cdot (s + 1)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥3) Vamos resolver em

ℝ

-1 \cdot B = 2 \cdot (-1) + 1

⇥ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot B

- B

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-1)

-2

⇥

- B = - 2 + 1

⇥ⓘ Partimos de

-2

e avançamos

1

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 2 + 1

-1

⇥

- B = -1

⇥Solução obtida:

B = 1

⇥4) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{2 s + 1}{s \cdot (s + 1)} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s + 1}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{1}{s}

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{1}{s + 1}

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot t

0

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot t

- t

⇥

\frac{1}{1} + \frac{\exp (- t)}{1}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\exp (- t)

\frac{1}{\exp (t)}

⇥

1 + \frac{1}{\exp (t)}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{1}{\exp (t)} + 1