transformada inversa de Laplace de (2s+1)/(s^3)

⇥1) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{2 s + 1}{s^{3}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^{2}} + \frac{C}{s^{3}}

⇥Para encontrar as incógnitas restantes, multiplicamos ambos os membros pelo denominador

s^{3}

, o que dá:

⇥

2 s + 1 = A s^{2} + B s + C

⇥2) Identificando os diferentes termos, obtemos o sistema de equações:

⇥ [1]:

0 = A

⇥ [2]:

2 = B

⇥ [3]:

1 = C

⇥Solução encontrada [1]:

A = 0

⇥3) Vamos resolver para B:

2 = B

[2]

⇥Solução obtida [2]:

B = 2

⇥4) Vamos resolver para C:

1 = C

[3]

⇥Solução encontrada [3]:

C = 1

⇥5) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{2 s + 1}{s^{3}} = \frac{2}{s^{2}} + \frac{1}{s^{3}}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{2}{s^{2}}

\frac{2 t \exp (0 \cdot t)}{1!}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{1}{s^{3}}

\frac{t^{2} \exp (0 \cdot t)}{2!}

⇥

\frac{2 t \exp (0 \cdot t)}{1!} + \frac{t^{2} \exp (0 \cdot t)}{2!}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot t

0

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■O fatorial de um inteiro estritamente positivo é o produto de todos os inteiros de 1 até esse inteiro:

1!

1

2!

2

⇥

\frac{2 t}{1} + \frac{t^{2}}{2}

⇥

2 t + \frac{t^{2}}{2}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{t^{2}}{2} + 2 t