transformada inversa de Laplace de ((2s+1))/((s+1)^2)

⇥1) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{2 s + 1}{{(s + 1)}^{2}} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{{(s + 1)}^{2}}

⇥Para encontrar as incógnitas restantes, multiplicamos ambos os membros pelo denominador

{(s + 1)}^{2}

, o que dá:

⇥

2 s + 1 = A \cdot (s + 1) + B

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

A \cdot (s + 1)

A s + A

⇥

2 s + 1 = A s + A + B

⇥2) Identificando os diferentes termos, obtemos o sistema de equações:

⇥ [1]:

2 = A

⇥ [2]:

1 = A + B

⇥Solução encontrada [1]:

A = 2

⇥3) Vamos resolver para B:

1 = A + B

[2] utilizando

A = 2

⇥

2 + B = 1

⇥ⓘ Subtraímos

2

a ambos os membros

⇥

B = 1 - 2

⇥ⓘ Partimos de

1

e recuamos

2

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

1 - 2

-1

⇥Solução encontrada [2]:

B = -1

⇥4) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{2 s + 1}{{(s + 1)}^{2}} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{{(s + 1)}^{2}}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{2}{s + 1}

\frac{2 \exp (-1 \cdot t)}{0!}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{1}{{(s + 1)}^{2}}

\frac{-1 \cdot t \exp (-1 \cdot t)}{1!}

⇥

\frac{2 \exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot t \exp (-1 \cdot t)}{1!}

⇥ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot t

- t

-1 \cdot t \exp (- t)

- t \exp (- t)

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

■O fatorial de um inteiro estritamente positivo é o produto de todos os inteiros de 1 até esse inteiro:

1!

1

⇥

\frac{2 \exp (- t)}{1} - \frac{t \exp (- t)}{1}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

2 \exp (- t)

\frac{2}{\exp (t)}

t \exp (- t)

\frac{t}{\exp (t)}

⇥

\frac{2}{\exp (t)} - \frac{t}{\exp (t)}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2}{\exp (t)} - \frac{t}{\exp (t)}

\frac{2 - t}{\exp (t)}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{2 - t}{\exp (t)}