transformada inversa de Laplace de (e^{-s})/(s^2+3s+2)

⚠ (e^{-s})/(s^2+3s+2) é interpretado como (e^(-s))/(s^2+3s+2): utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

O fator

e^{- s}

atrasa a função original em

1

: invertemos

\frac{1}{s^{2} + 3 s + 2}

e depois substituímos

t

por

t - 1

⇥1) Vamos fatorizar em

ℝ

s^{2} + 3 s + 2

⇥Dada a forma quadrática

a s^{2} + b s + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 3

c = 2

⇥

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot 2

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 9 - 8

⇥ⓘ Partimos de

9

e recuamos

8

na reta numérica:

9 - 8

1

⇥

Δ = 1

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{- 3 - 1}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 - 1

-4

⇥

s_{1} = - \frac{4}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{4}{2}

-2

⇥

s_{1} = -2

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{- 3 + 1}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 + 1

-2

⇥

s_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

s_{2} = -1

⇥Fatores encontrados:

(s + 1) \cdot (s + 2)

⇥2) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{1}{(s + 1) \cdot (s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2}

⇥Para o fator simples

s + 1

e a sua raiz

-1

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

s^{2} + 3 s + 2

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥3) Vamos resolver em

ℝ

(- 1 + 2) \cdot A = 1

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 1 + 2

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot A

A

⇥Solução encontrada:

A = 1

⇥Para o fator simples

s + 2

e a sua raiz

-2

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

s^{2} + 3 s + 2

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥4) Vamos resolver em

ℝ

(- 2 + 1) \cdot B = 1

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 2 + 1

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot B

- B

⇥

- B = 1

⇥ⓘ Mudamos o sinal de ambos os membros

⇥Solução encontrada:

B = -1

⇥5) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{1}{(s + 1) \cdot (s + 2)} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{1}{s + 1}

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{1}{s + 2}

\frac{-1 \cdot \exp (-2 t)}{0!}

⇥

\frac{\exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{-1 \cdot \exp (-2 t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot t

- t

-1 \cdot \exp (-2 t)

- \exp (-2 t)

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

\frac{\exp (- t)}{1} - \frac{\exp (-2 t)}{1}

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\exp (- t)

\frac{1}{\exp (t)}

⇥

\frac{1}{\exp (t)} - \exp (- 2 t)

⇥ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\exp (- 2 t)

\frac{1}{\exp (2 t)}

⇥

\frac{1}{\exp (t)} - \frac{1}{\exp (2 t)}

Atrasada em

1

, a função original é nula para

t < 1

: substituímos

t

por

t - 1

e multiplicamos pelo degrau unitário

u (t - 1)

, que vale 0 para

t < 1

e 1 para

t \geq 1

▶Transformada inversa de Laplace:

u (t - 1) \cdot (\frac{1}{\exp (t - 1)} - \frac{1}{\exp (2 \cdot (t - 1))})