transformada inversa de Laplace de (-5)/(s(s^2-5s+4))

⇥1) Vamos fatorizar em

ℝ

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(s^{2} - 5 s + 4)

⇥Dada a forma quadrática

a s^{2} + b s + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -5

c = 4

⇥

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

⇥

Δ = 25 - 4 \cdot 4

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 25 - 16

⇥ⓘ Partimos de

25

e recuamos

16

na reta numérica:

25 - 16

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

s_{1} = \frac{5 - 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 - 3

2

⇥

s_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

⇥

s_{1} = 1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

s_{2} = \frac{5 + 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 + 3

8

⇥

s_{2} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

⇥

s_{2} = 4

⇥Fatores encontrados:

(s - 1) \cdot (s - 4)

⇥2) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

- \frac{5}{s \cdot (s - 1) \cdot (s - 4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1} + \frac{C}{s - 4}

⇥Para o fator simples

s

e a sua raiz

0

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥3) Vamos resolver em

ℝ

(0 - 1) \cdot (0 - 4) \cdot A = -5

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 1

-1

0 - 4

-4

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-1 \cdot (-4)

4

⇥

4 A = -5

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

4

⇥Solução obtida:

A = - \frac{5}{4}

⇥Para o fator simples

s - 1

e a sua raiz

1

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥4) Vamos resolver em

ℝ

1 \cdot (1 - 4) \cdot B = -5

⇥

(1 - 4) \cdot B = -5

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 4

-3

⇥

- 3 B = -5

⇥

3 B = 5

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥Solução encontrada:

B = \frac{5}{3}

⇥Para o fator simples

s - 4

e a sua raiz

4

, calculamos a incógnita C multiplicando pelo denominador

s \cdot (s^{2} - 5 s + 4)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥5) Vamos resolver em

ℝ

4 \cdot (4 - 1) \cdot C = -5

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

4 - 1

3

⇥

4 \cdot 3 C = -5

⇥ⅰ

4 \cdot 3

12

⇥

12 C = -5

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

12

⇥Solução encontrada:

C = - \frac{5}{12}

⇥6) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

- \frac{5}{s \cdot (s - 1) \cdot (s - 4)} = - \frac{5}{4 s} + \frac{5}{3 \cdot (s - 1)} - \frac{5}{12 \cdot (s - 4)}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

- \frac{5}{4 s} = - \frac{\frac{5}{4}}{s}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{\frac{5}{4}}{s}

\frac{- \frac{5}{4} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

\frac{5}{3 \cdot (s - 1)} = \frac{\frac{5}{3}}{s - 1}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{\frac{5}{3}}{s - 1}

\frac{\frac{5}{3} \cdot \exp (t)}{0!}

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

- \frac{5}{12 \cdot (s - 4)} = - \frac{\frac{5}{12}}{s - 4}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{\frac{5}{12}}{s - 4}

\frac{- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)}{0!}

⇥

\frac{- \frac{5}{4} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!} + \frac{\frac{5}{3} \cdot \exp (t)}{0!} + \frac{- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)}{0!}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot t

0

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

■Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{5}{3} \cdot \exp (t)

\frac{5 \exp (t)}{3}

- \frac{5}{12} \cdot \exp (4 t)

- \frac{5 \exp (4 t)}{12}

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

- \frac{\frac{5}{4}}{0!} + \frac{\frac{5 \exp (t)}{3}}{1} - \frac{\frac{5 \exp (4 t)}{12}}{1}

⇥ⓘ Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

- \frac{\frac{5}{4}}{1} + \frac{5 \exp (t)}{3} - \frac{5 \exp (4 t)}{12}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{5}{4} - \frac{5 \exp (4 t)}{12}

\frac{3 \cdot (-5) - 5 \exp (4 t)}{12}

⇥

\frac{3 \cdot (-5) - 5 \exp (4 t)}{12} + \frac{5 \exp (t)}{3}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-5)

-15

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 15 - 5 \exp (4 t)

- (15 + 5 \exp (4 t))

⇥

- \frac{15 + 5 \exp (4 t)}{12} + \frac{5 \exp (t)}{3}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{5 \exp (t)}{3} - \frac{5 \exp (4 t) + 15}{12}