transformada inversa de Laplace de (s-10)/(s^2-2s-3)

⇥1) Vamos fatorizar em

ℝ

s^{2} - 2 s - 3

⇥Dada a forma quadrática

a s^{2} + b s + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = -3

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

⇥

Δ = 4 + 12

⇥ⓘ Partimos de

4

e avançamos

12

na reta numérica:

4 + 12

16

⇥

Δ = 16

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

s_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{1} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥

s_{1} = \frac{2 - 4}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 - 4

-2

⇥

s_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

s_{1} = -1

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

s_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

⇥

s_{2} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

⇥

s_{2} = \frac{2 + 4}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 4

6

⇥

s_{2} = \frac{6}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

⇥

s_{2} = 3

⇥Fatores encontrados:

(s + 1) \cdot (s - 3)

⇥2) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{s - 10}{(s + 1) \cdot (s - 3)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s - 3}

⇥Para o fator simples

s + 1

e a sua raiz

-1

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

s^{2} - 2 s - 3

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥3) Vamos resolver em

ℝ

(- 1 - 3) \cdot A = - 1 - 10

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

- 1 - 3

-4

■Partimos de

-1

e recuamos mais

10

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 1 - 10

-11

⇥

- 4 A = -11

⇥

4 A = 11

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

4

⇥Solução obtida:

A = \frac{11}{4}

⇥Para o fator simples

s - 3

e a sua raiz

3

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

s^{2} - 2 s - 3

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥4) Vamos resolver em

ℝ

(3 + 1) \cdot B = 3 - 10

⇥ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

3 + 1

4

■Partimos de

3

e recuamos

10

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

3 - 10

-7

⇥

4 B = -7

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

4

⇥Solução obtida:

B = - \frac{7}{4}

⇥5) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{s - 10}{(s + 1) \cdot (s - 3)} = \frac{11}{4 \cdot (s + 1)} - \frac{7}{4 \cdot (s - 3)}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

\frac{11}{4 \cdot (s + 1)} = \frac{\frac{11}{4}}{s + 1}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{\frac{11}{4}}{s + 1}

\frac{\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)}{0!}

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

- \frac{7}{4 \cdot (s - 3)} = - \frac{\frac{7}{4}}{s - 3}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{\frac{7}{4}}{s - 3}

\frac{- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)}{0!}

⇥

\frac{\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)}{0!} + \frac{- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{11}{4} \cdot \exp (-1 \cdot t)

\frac{11 \exp (-1 \cdot t)}{4}

- \frac{7}{4} \cdot \exp (3 t)

- \frac{7 \exp (3 t)}{4}

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot t

- t

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

\frac{\frac{11 \exp (- t)}{4}}{1} - \frac{\frac{7 \exp (3 t)}{4}}{1}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\frac{11 \exp (- t)}{4}

\frac{11}{4 \exp (t)}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{11}{4 \exp (t)} - \frac{7 \exp (3 t)}{4}