transformada inversa de Laplace de f(s)= 1/(s(s-3))

⇥1) Podemos decompor em frações parciais:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 3}

⇥Para o fator simples

s

e a sua raiz

0

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

s \cdot (s - 3)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥2) Vamos resolver em

ℝ

(0 - 3) \cdot A = 1

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 3

-3

⇥

- 3 A = 1

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

-3

⇥

A = \frac{1}{-3}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{1}{-3}

- \frac{1}{3}

⇥Solução encontrada:

A = - \frac{1}{3}

⇥Para o fator simples

s - 3

e a sua raiz

3

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

s \cdot (s - 3)

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

⇥3) Vamos resolver em

ℝ

3 B = 1

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥Solução obtida:

B = \frac{1}{3}

⇥4) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

⇥

\frac{1}{s \cdot (s - 3)} = - \frac{1}{3 s} + \frac{1}{3 \cdot (s - 3)}

Procuramos a transformada inversa causal, para t ≥ 0. Por linearidade, invertemos cada fração simples

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

\frac{1}{3 \cdot (s - 3)} = \frac{\frac{1}{3}}{s - 3}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

\frac{\frac{1}{3}}{s - 3}

\frac{\frac{1}{3} \cdot \exp (3 t)}{0!}

Antes de aplicar a fórmula, normalizamos o polo:

- \frac{1}{3 s} = - \frac{\frac{1}{3}}{s}

A fórmula de Laplace inversa de

\frac{1}{{(s - a)}^{n}}

t^{n - 1} \cdot \frac{\exp (a t)}{(n - 1)!}

, pelo que para

- \frac{\frac{1}{3}}{s}

\frac{- \frac{1}{3} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥

\frac{\frac{1}{3} \cdot \exp (3 t)}{0!} + \frac{- \frac{1}{3} \cdot \exp (0 \cdot t)}{0!}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{3} \cdot \exp (3 t)

\frac{1 \cdot \exp (3 t)}{3}

\frac{\exp (3 t)}{3}

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

■Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot t

0

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

⇥

\frac{\frac{\exp (3 t)}{3}}{1} - \frac{\frac{1}{3}}{0!}

⇥ⓘ Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

⇥

\frac{\exp (3 t)}{3} - \frac{\frac{1}{3}}{1}

▶Transformada inversa de Laplace:

\frac{\exp (3 t)}{3} - \frac{1}{3}