x-1=(2-x)^2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x - 1 = {(2 - x)}^{2}

x - 1 - {(2 - x)}^{2} = 0

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(2 - x)}^{2}

(2 - x) \cdot (2 - x)

x - 1 - (2 - x) \cdot (2 - x) = 0

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (2 - x) \cdot (2 - x)

- (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x))

x - 1 - (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x)) = 0

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 \cdot 2

+ 2 \cdot (- x)

- x \cdot 2

- x \cdot (- x))

- 2 \cdot 2

- 2 \cdot (- x)

+ x \cdot 2

+ x \cdot (- x)

x

- 1

- 2 \cdot 2

- 2 \cdot (- x)

+ x \cdot 2

+ x \cdot (- x) = 0

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

■Dois sinais de menos anulam-se:

-2 \cdot (- x)

2 x

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + x \cdot 2

3 x

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

x \cdot (- x)

- x \cdot x

3 x

- 1

- 4

+ 2 x

- x \cdot x = 0

ⓘ Partimos de

-1

e recuamos mais

4

na reta numérica, afastando-nos do zero:

- 1 - 4

-5

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

3 x + 2 x

5 x

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

5 x - 5 - x^{2} = 0

- x^{2} + 5 x - 5 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-1

x^{2} - 5 x + 5 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -5

c = 5

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot 5

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 5

20

Δ = 25 - 20

ⓘ Partimos de

25

e recuamos

20

na reta numérica:

25 - 20

5

Δ = 5

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}

▶Soluções encontradas:

x = {\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}}

2) O valor numérico de:

x = {\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}}

vale:

x = {\approx \frac{5 - 2,2361}{2}; \approx \frac{5 + 2,2361}{2}}

x = {\approx \frac{2,7639}{2}; \approx \frac{7,2361}{2}}

▷

x = {\approx 1,3820; \approx 3,6180}