x^2+10x-1=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 10 x - 1 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 10

c = -1

Δ = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

10^{2}

10 \cdot 10

100

Δ = 100 - 4 \cdot (-1)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

Δ = 100 + 4

ⓘ Partimos de

100

e avançamos

4

na reta numérica:

100 + 4

104

Δ = 104

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 - \sqrt{104}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{104}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

104

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{104}

\sqrt{4 \cdot 26}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{26}

2 \cdot \sqrt{26}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 10 - 2 \cdot \sqrt{26}

- (10 + 2 \cdot \sqrt{26})

x_{1} = - \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

- \frac{2 \cdot (5 + \sqrt{26})}{2}

- (5 + \sqrt{26})

x_{1} = - (5 + \sqrt{26})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (5 + \sqrt{26})

- 5 - \sqrt{26}

x_{1} = - 5 - \sqrt{26}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 10 + \sqrt{104}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{104}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

104

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{104}

\sqrt{4 \cdot 26}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{26}

2 \cdot \sqrt{26}

x_{2} = \frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 10 + 2 \cdot \sqrt{26}}{2}

\frac{2 \cdot (- 5 + \sqrt{26})}{2}

- 5 + \sqrt{26}

x_{2} = - 5 + \sqrt{26}

▶Soluções obtidas:

x = {- \sqrt{26} - 5; \sqrt{26} - 5}

2) O valor numérico de:

x = {- \sqrt{26} - 5; \sqrt{26} - 5}

vale:

x = {\approx - 5,0990 - 5; \approx 5,0990 - 5}

▷

x = {\approx -10,0990; \approx 9,902 \times 10^{- 2}}