x^2+21x-20>= 4x-80 — solução passo a passo

Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 21 x - 20 \geq 4 x - 80

x^{2}

+ 21 x

- 20

- 4 x

+ 80 \geq 0

ⓘ Partimos de

-20

e avançamos

80

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 20 + 80

60

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

21 x - 4 x

17 x

x^{2} + 17 x + 60 \geq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 17

c = 60

Δ = 17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

17^{2}

17 \cdot 17

289

Δ = 289 - 4 \cdot 60

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 60

240

Δ = 289 - 240

ⓘ Partimos de

289

e recuamos

240

na reta numérica:

289 - 240

49

Δ = 49

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 17 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

x_{1} = \frac{- 17 - 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 17 - 7

-24

x_{1} = - \frac{24}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{24}{2}

-12

x_{1} = -12

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 17 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{49}

7

pois

7^{2}

49

x_{2} = \frac{- 17 + 7}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 17 + 7

-10

x_{2} = - \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{10}{2}

-5

x_{2} = -5

O trinómio tem o sinal de a (

1

) fora das suas raízes, pelo que é positivo fora delas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

▶Solução encontrada:

x \in] -∞; -12] \cup [-5; +∞ [