x^2+3x-12>0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 3 x - 12 > 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 3

c = -12

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-12)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 9 + 48

ⓘ Partimos de

9

e avançamos

48

na reta numérica:

9 + 48

57

Δ = 57

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{57}}{2}

ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 3 - \sqrt{57}

- (3 + \sqrt{57})

x_{1} = - \frac{3 + \sqrt{57}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{57}}{2}

O trinómio tem o sinal de a (

1

) fora das suas raízes, pelo que é positivo fora delas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

▶Solução encontrada:

x \in] -∞; - \frac{3 + \sqrt{57}}{2} [\cup] \frac{\sqrt{57} - 3}{2}; +∞ [

2) O valor numérico de:

x \in] -∞; - \frac{3 + \sqrt{57}}{2} [\cup] \frac{\sqrt{57} - 3}{2}; +∞ [

é:

x \in] -∞; - \frac{3 + \approx 7,5498}{2} [\cup] \frac{\approx 7,5498 - 3}{2}; +∞ [

x \in] -∞; - \frac{\approx 10,5498}{2} [\cup] \frac{\approx 4,5498}{2}; +∞ [

▷

x \in] -∞; \approx -5,2749 [\cup] \approx 2,2749; +∞ [