x^2+4x-16=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 4 x - 16 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 4

c = -16

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-16)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{2}

4 \cdot 4

16

Δ = 16 - 4 \cdot (-16)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-16)

4 \cdot 16

4 \cdot (10 + 6)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 6

40 + 24

64

Δ = 16 + 64

ⓘ Partimos de

16

e avançamos

64

na reta numérica:

16 + 64

80

Δ = 80

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 - \sqrt{80}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{80}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

80

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{80}

\sqrt{16 \cdot 5}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}

4 \cdot \sqrt{5}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 4 - 4 \cdot \sqrt{5}

- (4 + 4 \cdot \sqrt{5})

x_{1} = - \frac{4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

- \frac{2 \cdot (2 + 2 \cdot \sqrt{5})}{2}

- (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

x_{1} = - (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (2 + 2 \cdot \sqrt{5})

- 2 - 2 \cdot \sqrt{5}

x_{1} = - 2 - 2 \cdot \sqrt{5}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 4 + \sqrt{80}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{80}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

80

16

4^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{80}

\sqrt{16 \cdot 5}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{5}

4 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = \frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{- 4 + 4 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (- 2 + 2 \cdot \sqrt{5})}{2}

- 2 + 2 \cdot \sqrt{5}

x_{2} = - 2 + 2 \cdot \sqrt{5}

▶Soluções obtidas:

x = {- 2 \cdot \sqrt{5} - 2; 2 \cdot \sqrt{5} - 2}

2) O valor numérico de:

x = {- 2 \cdot \sqrt{5} - 2; 2 \cdot \sqrt{5} - 2}

é:

x = {\approx - 2 \cdot 2,2361 - 2; \approx 2 \cdot 2,2361 - 2}

x = {\approx - 4,4721 - 2; \approx 4,4721 - 2}

▷

x = {\approx -6,4721; \approx 2,4721}