x^2+9x-9=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} + 9 x - 9 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = 9

c = -9

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-9)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

9^{2}

9 \cdot 9

81

Δ = 81 - 4 \cdot (-9)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-9)

36

Δ = 81 + 36

ⓘ Partimos de

81

e avançamos

36

na reta numérica:

81 + 36

117

Δ = 117

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 - \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 9 - \sqrt{117}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

117

9

3^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 9 - 3 \cdot \sqrt{13}

- (9 + 3 \cdot \sqrt{13})

x_{1} = - \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 + \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 9 + \sqrt{117}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

117

9

3^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

x_{2} = \frac{- 9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

▶Soluções obtidas:

x = {- \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 9}{2}}

2) O valor numérico de:

x = {- \frac{9 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 9}{2}}

vale:

x = {\approx - \frac{9 + 3 \cdot 3,6056}{2}; \approx \frac{3 \cdot 3,6056 - 9}{2}}

x = {\approx - \frac{9 + 10,8167}{2}; \approx \frac{10,8167 - 9}{2}}

x = {\approx - \frac{19,8167}{2}; \approx \frac{1,8167}{2}}

▷

x = {\approx -9,9083; \approx 0,9083}