x^2-12x+3<0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 12 x + 3 < 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -12

c = 3

Δ = {(-12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-12)}^{2}

(-12) \cdot (-12)

144

Δ = 144 - 4 \cdot 3

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

Δ = 144 - 12

ⓘ Partimos de

144

e recuamos

12

na reta numérica:

144 - 12

132

Δ = 132

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) - \sqrt{132}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{12 - \sqrt{132}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

132

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{132}

\sqrt{4 \cdot 33}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{33}

2 \cdot \sqrt{33}

x_{1} = \frac{12 - 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{12 - 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

\frac{2 \cdot (6 - \sqrt{33})}{2}

6 - \sqrt{33}

x_{1} = 6 - \sqrt{33}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-12) + \sqrt{132}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{12 + \sqrt{132}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

132

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{132}

\sqrt{4 \cdot 33}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{33}

2 \cdot \sqrt{33}

x_{2} = \frac{12 + 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{12 + 2 \cdot \sqrt{33}}{2}

\frac{2 \cdot (6 + \sqrt{33})}{2}

6 + \sqrt{33}

x_{2} = 6 + \sqrt{33}

O trinómio tem sinal oposto ao de a (

1

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão excluídas.

▶Solução obtida:

x \in] 6 - \sqrt{33}; 6 + \sqrt{33} [

2) O valor numérico de:

x \in] 6 - \sqrt{33}; 6 + \sqrt{33} [

é:

x \in] 6 - \approx 5,7446; 6 + \approx 5,7446 [

▷

x \in] \approx 0,2554; \approx 11,7446 [