x^2-8x+1=0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 8 x + 1 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -8

c = 1

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

Δ = 64 - 4

ⓘ Partimos de

64

e recuamos

4

na reta numérica:

64 - 4

60

Δ = 60

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{8 - \sqrt{60}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

60

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

x_{1} = \frac{8 - 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{8 - 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

\frac{2 \cdot (4 - \sqrt{15})}{2}

4 - \sqrt{15}

x_{1} = 4 - \sqrt{15}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{8 + \sqrt{60}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

60

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

x_{2} = \frac{8 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{8 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

\frac{2 \cdot (4 + \sqrt{15})}{2}

4 + \sqrt{15}

x_{2} = 4 + \sqrt{15}

▶Soluções encontradas:

x = {4 - \sqrt{15}; 4 + \sqrt{15}}

2) O valor numérico de:

x = {4 - \sqrt{15}; 4 + \sqrt{15}}

é:

x = {\approx 4 - 3,8730; \approx 4 + 3,8730}

▷

x = {\approx 0,1270; \approx 7,8730}