x^2-8x-105=-10 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 8 x - 105 = -10

ⓘ Somamos

10

a ambos os membros

x^{2}

- 8 x

- 105

+ 10 = 0

ⓘ Partimos de

-105

e avançamos

10

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 105 + 10

-95

x^{2} - 8 x - 95 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -8

c = -95

Δ = {(-8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-95)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

Δ = 64 - 4 \cdot (-95)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-95)

4 \cdot 95

4 \cdot (90 + 5)

4 \cdot 90 + 4 \cdot 5

360 + 20

380

Δ = 64 + 380

ⓘ Partimos de

64

e avançamos

380

na reta numérica:

64 + 380

444

Δ = 444

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) - \sqrt{444}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{8 - \sqrt{444}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

444

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{444}

\sqrt{4 \cdot 111}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{111}

2 \cdot \sqrt{111}

x_{1} = \frac{8 - 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{8 - 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

\frac{2 \cdot (4 - \sqrt{111})}{2}

4 - \sqrt{111}

x_{1} = 4 - \sqrt{111}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-8) + \sqrt{444}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{8 + \sqrt{444}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

444

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{444}

\sqrt{4 \cdot 111}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{111}

2 \cdot \sqrt{111}

x_{2} = \frac{8 + 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{8 + 2 \cdot \sqrt{111}}{2}

\frac{2 \cdot (4 + \sqrt{111})}{2}

4 + \sqrt{111}

x_{2} = 4 + \sqrt{111}

▶Soluções obtidas:

x = {4 - \sqrt{111}; 4 + \sqrt{111}}

2) O valor numérico de:

x = {4 - \sqrt{111}; 4 + \sqrt{111}}

vale:

x = {\approx 4 - 10,5357; \approx 4 + 10,5357}

▷

x = {\approx -6,5357; \approx 14,5357}