x^3>2x+x^2 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{3} > 2 x + x^{2}

Podemos fatorizar a expressão

x^{3} - x^{2} - 2 x

como

x \cdot (x^{2} - x - 2)

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥A expressão

x

anula-se em

x = 0

e é negativa antes e positiva depois

Vamos estudar o sinal de

x^{2} - x - 2

alargando a comparação a ≥ e resolvendo em

ℝ

x^{2} - x - 2 \geq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -2

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 3

-2

x_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

x_{1} = -1

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{2} = \frac{1 + 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 3

4

x_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

x_{2} = 2

O trinómio tem o sinal de a (

1

) fora das suas raízes, pelo que é positivo fora delas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

Solução encontrada:

x \in] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

⇥Portanto, a expressão

x^{2} - x - 2

é positiva ou nula em

] -∞; -1] \cup [2; +∞ [

e negativa nos restantes pontos

2) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-1$		$0$		$2$		$+∞$
$x$		-		-	0	+		+
$x^{2} - x - 2$		+	0	-		-	0	+
$x^{3} - (2 x + x^{2})$		-	0	+	0	-	0	+

▶Solução encontrada:

x \in] -1; 0 [\cup] 2; +∞ [