x^3-7x^2+10x<0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{3} - 7 x^{2} + 10 x < 0

Podemos fatorizar a expressão

x^{3} - 7 x^{2} + 10 x

como

x \cdot (x^{2} - 7 x + 10)

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥A expressão

x

anula-se em

x = 0

e é negativa antes e positiva depois

Vamos estudar o sinal de

x^{2} - 7 x + 10

alargando a comparação a ≤ e resolvendo em

ℝ

x^{2} - 7 x + 10 \leq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -7

c = 10

Δ = {(-7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-7)}^{2}

(-7) \cdot (-7)

49

Δ = 49 - 4 \cdot 10

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 10

40

Δ = 49 - 40

ⓘ Partimos de

49

e recuamos

40

na reta numérica:

49 - 40

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{1} = \frac{7 - 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 - 3

4

x_{1} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

x_{1} = 2

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{2} = \frac{7 + 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

7 + 3

10

x_{2} = \frac{10}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{10}{2}

5

x_{2} = 5

O trinómio tem sinal oposto ao de a (

1

) entre as suas raízes, pelo que é negativo entre elas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

Solução obtida:

x \in [2; 5]

⇥Portanto, a expressão

x^{2} - 7 x + 10

é negativa ou nula em

[2; 5]

e positiva nos restantes pontos

2) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$0$		$2$		$5$		$+∞$
$x$		-	0	+		+		+
$x^{2} - 7 x + 10$		+		+	0	-	0	+
$x^{3} - 7 x^{2} + 10 x$		-	0	+	0	-	0	+

▶Solução encontrada:

x \in] -∞; 0 [\cup] 2; 5 [