x^4+4x^3-4x^2+4x-5<0 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

x^{4}

+ 4 x^{3}

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 5 < 0

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = 1

⇥Vamos calcular o valor de:

1^{4}

+ 4 \cdot 1^{3}

- 4 \cdot 1^{2}

+ 4 \cdot 1

- 5

⇥

1

+ 4

- 4

+ 4

- 5

⇥ⓘ Partimos de

4

e recuamos

4

na reta numérica, até ao zero:

4 - 4

0

⇥

1

+ 0

+ 4

- 5

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 4

4

■Partimos de

1

e avançamos

4

na reta numérica:

1 + 4

5

⇥

5 - 5

⇥ⓘ Partimos de

5

e recuamos

5

na reta numérica, até ao zero:

5 - 5

0

⇥

0

⇥Solução obtida:

x = 1

⇥1.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{4}

+ 4 x^{3}

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 5)

por

(x - 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{4}$ $+ 4 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$	$\frac{x^{4}}{x}$	$x^{3}$	$x^{3} \cdot (x - 1) = x^{4} - x^{3}$	$(x^{4}$ $+ 4 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5) - (x^{4} - x^{3}) = 5 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$
$5 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$	$\frac{5 x^{3}}{x}$	$5 x^{2}$	$5 x^{2} \cdot (x - 1) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$	$(5 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5) - (5 x^{3} - 5 x^{2}) = x^{2} + 4 x - 5$
$x^{2} + 4 x - 5$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 4 x - 5) - (x^{2} - x) = 5 x - 5$
$5 x - 5$	$\frac{5 x}{x}$	$5$	$5 \cdot (x - 1) = 5 x - 5$	$(5 x - 5) - (5 x - 5) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5

(x - 1) \cdot (x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5)

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥A expressão

x - 1

anula-se em

x = 1

e é negativa antes e positiva depois

⇥1.3) Vamos estudar o sinal de

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5

alargando a comparação a ≤ e resolvendo em

ℝ

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5 \leq 0

⇥⇥1.3.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -5

⇥⇥Vamos calcular o valor de:

{(-5)}^{3}

+ 5 \cdot {(-5)}^{2}

- 5

+ 5

⇥⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-5)}^{3}

(-5) \cdot (-5) \cdot (-5)

-125

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

■Partimos de

-5

e avançamos

5

na reta numérica, até ao zero:

- 5 + 5

0

⇥⇥

- 125 + 5 \cdot 25 + 0

⇥⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

5 \cdot 25 + 0

5 \cdot 25

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 25

5 \cdot (20 + 5)

5 \cdot 20 + 5 \cdot 5

100 + 25

125

⇥⇥

- 125 + 125

⇥⇥ⓘ Partimos de

-125

e avançamos

125

na reta numérica, até ao zero:

- 125 + 125

0

⇥⇥

0

⇥⇥Solução obtida:

x = -5

⇥⇥1.3.2) Vamos calcular o quociente e o resto de

(x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5)

por

(x + 5)

⇥⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x^{3}$ $+ 5 x^{2}$ $+ x$ $+ 5$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x + 5) = x^{3} + 5 x^{2}$	$(x^{3}$ $+ 5 x^{2}$ $+ x$ $+ 5) - (x^{3} + 5 x^{2}) = x + 5$
$x + 5$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x + 5 = x + 5$	$(x + 5) - (x + 5) = 0$

⇥⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

x^{2} + 1

⇥ⅰ

x^{3}

+ 5 x^{2}

+ x

+ 5

(x + 5) \cdot (x^{2} + 1)

⇥

(x + 5) \cdot (x^{2} + 1)

⇥Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥⇥A expressão

x + 5

anula-se em

x = -5

e é negativa antes e positiva depois

⇥⇥1.3.3) Vamos estudar o sinal de

x^{2} + 1

resolvendo em

ℝ

x^{2} + 1 \leq 0

⇥⇥Em ℝ, uma potência par nunca é negativa:

x^{2} \leq -1

não tem solução

⇥⇥Solução:

x \in \emptyset

⇥⇥Portanto, a expressão

x^{2} + 1

é sempre positiva

2) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-5$		$1$		$+∞$
$x - 1$		-		-	0	+
$x + 5$		-	0	+		+
$x^{2} + 1$		+		+		+
$x^{4}$ $+ 4 x^{3}$ $- 4 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 5$		+	0	-	0	+

▶Solução obtida:

x \in] -5; 1 [