xydx-(1+x^2)dy=0 — solução passo a passo

⚠ xydx-(1+x^2)dy = 0 é interpretado como a equação diferencial y' = (xy)/(1+x^2): dividimos por dx e isolamos y', derivada de y em relação a x■xy é interpretado como o produto x*y: para a variável xy, escreva xy_

1) Vamos resolver a equação separável

y' = \frac{x y}{1 + x^{2}}

, onde

y

é uma função de

x

Antes de dividir,

y = 0

dá a solução de equilíbrio

y = 0

Nos intervalos onde

y \neq 0

, separamos as variáveis:

\frac{dy}{y} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot dx

⇥1.1) Vamos calcular a integral:

\int \frac{1}{y} d y

⇥ⓘ A derivada de

\ln | y |

\frac{1}{y}

, pelo que

\ln | y |

é uma primitiva de

\frac{1}{y}

\int \frac{1}{y} d y

\ln | y |

⇥

\ln | y |

⇥1.2) Vamos calcular a integral:

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x

⇥Para a expressão matemática

\frac{x}{x^{2} + 1}

, sabendo que (ln(a))' = a'/a, tentamos derivar

\ln (x^{2} + 1)

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 1))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

x^{2} + 1

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + 1))

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{x^{2} + 1}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

\frac{2 x}{x^{2} + 1}

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

\frac{x}{x^{2} + 1}

, pelo que

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

é uma primitiva de

\frac{x}{x^{2} + 1}

\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

⇥

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln (x^{2} + 1)

\frac{1 \cdot \ln (x^{2} + 1)}{2}

\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}

⇥

\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2}

Integrando ambos os membros, obtemos

\ln | y | = \frac{\ln (x^{2} + 1)}{2} + C

, onde

C

é uma constante real arbitrária

Aplicamos a exponencial:

| y | = \exp (C) \exp (\frac{\ln (x^{2} + 1)}{2})

\exp (C) \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

, de onde

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

com

K

= ±

\exp (C)

, uma constante real não nula

K = 0

recupera a solução de equilíbrio

y = 0

: as soluções são

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}

, onde

K

é uma constante real arbitrária

▶Solução:

y = K \cdot \sqrt{x^{2} + 1}