y=x^2-6x+8 — solução passo a passo

Guardamos a definição:

y = x^{2} - 6 x + 8

Vamos estudar a função

y (x) = x^{2} - 6 x + 8

1) Vamos procurar o domínio de

x^{2} - 6 x + 8

ⓘ Esta expressão não impõe restrições à variável real

Domínio de definição:

x \in ℝ

2) Vamos estudar a paridade de

x^{2} - 6 x + 8

em relação a

x

O domínio é

x \in ℝ

Este domínio é simétrico em relação a 0: se

x

pertence ao domínio, -

x

também

Substituímos

x

por -

x

: y(-

x

) =

{(- x)}^{2} - 6 \cdot (- x) + 8

Vamos avaliar:

{(- x)}^{2} - 6 \cdot (- x) + 8

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Com um expoente inteiro par, o sinal de menos da base desaparece; com um expoente inteiro ímpar, passa para a frente da potência:

{(- x)}^{2}

x^{2}

■Dois sinais de menos anulam-se:

-6 \cdot (- x)

6 x

x^{2} + 6 x + 8

y(-

x

) - y(

x

) =

12 x

e y(-

x

) + y(

x

) =

2 x^{2} + 16

são polinómios não nulos: a função não é par nem ímpar

Paridade: nem par nem ímpar

3) Derivabilidade

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 8)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 6 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 6 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x)

-6

Derivada:

2 x - 6

4) Vamos estudar a variação de

y (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

y^{'} (x) = 2 x - 6

Vamos resolver em

ℝ

2 x - 6 = 0

ⓘ Somamos

6

a ambos os membros

2 x = 6

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

x = \frac{6}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

Solução obtida:

x = 3

y^{'} (x)

anula-se em

x = 3

Formada por funções usuais,

y^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

y^{'} (0) = -6

< 0:

y

é decrescente em

] -∞; 3 [

y^{'} (4) = 2

> 0:

y

é crescente em

] 3; +∞ [

Vamos calcular os valores de

y

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

Quando

x

tende para

-∞

y (x)

tende para

+∞

y (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 8 = -1

Quando

x

tende para

+∞

y (x)

tende para

+∞

Vamos construir o quadro de variação:

$x$	$-∞$		$3$		$+∞$
$y^{'} (x)$		-	$0$	+
$y (x)$	$+∞$	↘	$-1$	↗	$+∞$

Portanto,

y

é decrescente em

] -∞; 3]

e crescente em

[3; +∞ [

5) Vamos ler o conjunto imagem no quadro de variação

⇥Em

ℝ

y

é contínua: assume todos os valores de

[-1; +∞ [

Conjunto imagem:

[-1; +∞ [

6) No eixo das abcissas, y = 0: vamos resolver

x^{2} - 6 x + 8 = 0

Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - 6 x + 8 = 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -6

c = 8

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot 8

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 8

32

Δ = 36 - 32

ⓘ Partimos de

36

e recuamos

32

na reta numérica:

36 - 32

4

Δ = 4

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

x_{1} = \frac{6 - 2}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

6 - 2

4

x_{1} = \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

x_{1} = 2

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{4}

2

pois

2^{2}

4

x_{2} = \frac{6 + 2}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

6 + 2

8

x_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

x_{2} = 4

Soluções encontradas:

x = {2; 4}

No eixo das ordenadas,

x = 0

: vamos calcular f(0)

⇥

0^{2} - 6 \cdot 0 + 8

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

-6 \cdot 0

0

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 8

8

⇥

0 + 8

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 8

8

⇥

8

Interseções com os eixos:

{(2; 0); (4; 0); (0; 8)}

7) Vamos procurar as assíntotas de

x^{2} - 6 x + 8

, para

x

real

x^{2} - 6 x + 8

é um polinómio de grau

2

: está definido em ℝ e

\frac{f (x)}{x}

tende para infinito em -∞ e +∞; nenhuma reta se aproxima da sua curva

Portanto, a função não tem assíntotas

🖼/draw?f1=x%5E2+-+6*x+%2B+8&v=x&b=-10.0&e=10.0&min=-12.0&max=132.0

Assíntotas:

\emptyset

▶Estudo de $y (x)$ : Domínio de definição: $x \in ℝ$ ; Paridade: nem par nem ímpar; Derivada: $2 x - 6$ ; Conjunto imagem: $[-1; +∞ [$ ; Interseções com os eixos: ${(2; 0); (4; 0); (0; 8)}$ ; Assíntotas: $\emptyset$