y-5=y^2-y-9 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

y - 5 = y^{2} - y - 9

y

- 5

- y^{2}

+ y

+ 9 = 0

ⓘ Partimos de

-5

e avançamos

9

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 5 + 9

4

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

y + y

2 y

2 y + 4 - y^{2} = 0

- y^{2} + 2 y + 4 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos os membros por

-1

y^{2} - 2 y - 4 = 0

Dada a forma quadrática

a y^{2} + b y + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = -4

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-4)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-4)

16

Δ = 4 + 16

ⓘ Partimos de

4

e avançamos

16

na reta numérica:

4 + 16

20

Δ = 20

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

y_{1} = \frac{2 - \sqrt{20}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

20

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

y_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{5})}{2}

1 - \sqrt{5}

y_{1} = 1 - \sqrt{5}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

y_{2} = \frac{2 + \sqrt{20}}{2}

ⓘ Procuramos o maior quadrado que divide

20

4

2^{2}

, e extraímo-lo da raiz:

\sqrt{20}

\sqrt{4 \cdot 5}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

2 \cdot \sqrt{5}

y_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{5}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{5})}{2}

1 + \sqrt{5}

y_{2} = 1 + \sqrt{5}

▶Soluções encontradas:

y = {1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}}

2) O valor numérico de:

y = {1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}}

vale:

y = {\approx 1 - 2,2361; \approx 1 + 2,2361}

▷

y = {\approx -1,2361; \approx 3,2361}