y^{''}-2y^'+5y=5x+3 — solução passo a passo

⚠ y^{''}-2y^'+5y=5x+3 é interpretado como y''-2y'+5y=5x+3: escreva y' ou y'' para uma derivada

1) Vamos resolver a equação diferencial

y'' - 2 y' + 5 y = 5 x + 3

, onde

y

é uma função de

x

Para a equação homogénea, procuramos

\exp (r x)

: a equação característica é

r^{2} - 2 r + 5 = 0

2) Vamos resolver em

ℂ

r^{2} - 2 r + 5 = 0

Dada a forma quadrática

a r^{2} + b r + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -2

c = 5

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

Δ = 4 - 4 \cdot 5

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 5

20

Δ = 4 - 20

ⓘ Partimos de

4

e recuamos

20

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

4 - 20

-16

Δ = -16

Como

Δ < 0

, a equação tem duas raízes em

ℂ

A fórmula resolvente do segundo grau dá

r_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{-16}}{2 \cdot 1}

r_{1} = \frac{2 - \sqrt{-16}}{2}

ⓘ Em ℂ, a raiz quadrada principal de um real negativo é i vezes a raiz do seu valor absoluto, pois

i^{2} = -1

\sqrt{-16}

4 i

r_{1} = \frac{2 - 4 i}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 - 4 i}{2}

\frac{2 \cdot (1 - 2 i)}{2}

1 - 2 i

r_{1} = 1 - 2 i

A fórmula resolvente do segundo grau dá

r_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{-16}}{2 \cdot 1}

r_{2} = \frac{2 + \sqrt{-16}}{2}

ⓘ Em ℂ, a raiz quadrada principal de um real negativo é i vezes a raiz do seu valor absoluto, pois

i^{2} = -1

\sqrt{-16}

4 i

r_{2} = \frac{2 + 4 i}{2}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 + 4 i}{2}

\frac{2 \cdot (1 + 2 i)}{2}

1 + 2 i

r_{2} = 1 + 2 i

Soluções encontradas:

r = {1 - 2 i; 1 + 2 i}

A solução homogénea é

C1 \cdot \cos (2 x) \cdot \exp (x) + C2 \cdot \exp (x) \cdot \sin (2 x)

Procuramos uma solução particular

A x + B

. As suas derivadas são A e 0, pelo que

5 A = 5

- 2 A + 5 B = 3

Obtemos A =

1

e B =

1

, pelo que a solução particular é

x + 1

ⓘ Verificação:

- 2 + 5 \cdot (x + 1)

5 x + 3

A solução geral é a soma das soluções homogénea e particular;

C1

C2

são constantes reais arbitrárias

▶Solução:

y = C1 \cdot \cos (2 x) \cdot \exp (x)

+ C2 \cdot \exp (x) \cdot \sin (2 x)

+ x

+ 1