⚠ ye^{xy}dx+xe^{xy}dy = 0 é interpretado como a equação diferencial y' = (-ye^{xy})/(xe^{xy}): dividimos por dx e isolamos y', derivada de y em relação a x■ye é interpretado como o produto y*e, onde e é a constante exponencial: para a variável ye, escreva ye_■xy é interpretado como o produto x*y: para a variável xy, escreva xy_■xe é interpretado como o produto x*e, onde e é a constante exponencial: para a variável xe, escreva xe_■solve(y'=(-y*e^{x*y})/(x*e^{x*y}),x) é interpretado como solve(y'=(-y*e^(x*y))/(x*e^(x*y)),x): utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

1) Vamos resolver a equação separável $\mathrm{y\text{'}}=\frac{-y·e^{xy}}{x{e}^{xy}}$, onde $y$ é uma função de $x$

⇥1.1) Vamos procurar o domínio de $-\frac{1}{x}$

⇥ Para que a expressão $-\frac{1}{x}$ esteja definida, é necessário: $x\ne 0$

⇥Solução encontrada: $x\ne 0$

A função de $x$ está definida para $x\ne 0$

Antes de dividir, $y=0$ dá a solução de equilíbrio $y=0$

Nos intervalos onde $y\ne 0$, separamos as variáveis: $\frac{\mathrm{dy}}{y}=-\frac{\mathrm{dx}}{x}$

⇥1.2) Vamos integrar: $\int \frac{1}{y}dy$

⇥ⓘ A derivada de $\ln \left|y\right|$ é $\frac{1}{y}$, pelo que $\ln \left|y\right|$ é uma primitiva de $\frac{1}{y}$: $\int \frac{1}{y}dy$ = $\ln \left|y\right|$

⇥ $\ln \left|y\right|$

⇥1.3) Vamos calcular a integral: $\int (-\frac{1}{x})dx$

⇥ⓘ A derivada de $-\ln \left|x\right|$ é $-\frac{1}{x}$, pelo que $-\ln \left|x\right|$ é uma primitiva de $-\frac{1}{x}$: $\int (-\frac{1}{x})dx$ = $-\ln \left|x\right|$

⇥ $-\ln \left|x\right|$

Integrando ambos os membros, obtemos $\ln \left|y\right|=-\ln \left|x\right|+C$, onde $C$ é uma constante real arbitrária

Aplicamos a exponencial: $\left|y\right|=\exp \left(C\right)\exp (-\ln \left|x\right|)$ = $\frac{\exp \left(C\right)}{\left|x\right|}$, de onde $y=\frac{K}{\left|x\right|}$ com $K$ = ±$\exp \left(C\right)$, uma constante real não nula

Em cada intervalo onde $x\ne 0$, $\frac{1}{\left|x\right|}$ vale $\frac{1}{x}$ ou o seu oposto: este sinal fica incorporado em $K$, $y=\frac{K}{x}$

$K=0$ recupera a solução de equilíbrio $y=0$: as soluções são $y=\frac{K}{x}$, onde $K$ é uma constante real arbitrária

▶Solução:   $y=\frac{K}{x}$