asíntotas de (x^2+1)/(x-1)

1) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

⇥Solución encontrada:

x = 1

Cuando

x

se acerca a

1

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 1

es una asíntota vertical

⇥1.2) Comencemos la división euclídea de

(x^{2} + 1)

entre

(x - 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} - x) = x + 1$
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 1 = x - 1$	$(x + 1) - (x - 1) = 2$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

(x + 1)

La división permite escribir

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = (x + 1) + \frac{2}{x - 1}

: la recta que debemos comprobar es

y = x + 1

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

\frac{2}{x - 1}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = x + 1

, por lo que no hay asíntota horizontal

▶Asíntotas:

{x = 1; y = x + 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=x+%2B+1&b=-9.0&e=11.0&min=-10.0&max=14.0&dash=2,3

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