desviación estándar muestral de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

La media de los 8 valores es su suma dividida entre 8:

\frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5

Para una muestra, la varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media

5

dividida entre el número de valores menos uno, 7, y la desviación estándar es su raíz cuadrada

1) Evaluemos:

\sqrt{\frac{{(2 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{7}}

ⓘ Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

2 - 5

=

-3

,

4 - 5

=

-1

,

5 - 5

=

0

,

7 - 5

=

2

,

9 - 5

=

4

\sqrt{\frac{{(-3)}^{2} + {(-1)}^{2} + {(-1)}^{2} + {(-1)}^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 2^{2} + 4^{2}}{7}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-3)}^{2}

=

(-3) \times (-3)

=

9

,

{(-1)}^{2}

=

(-1) \times (-1)

=

1

,

2^{2}

=

2 \times 2

=

4

,

4^{2}

=

4 \times 4

=

16

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0 + 2^{2}

=

2^{2}

\sqrt{\frac{9 + 1 + 1 + 1 + 4 + 16}{7}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

9 + 1

=

10

\sqrt{\frac{10 + 1 + 1 + 4 + 16}{7}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

10 + 1

=

11

\sqrt{\frac{11 + 1 + 4 + 16}{7}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

11 + 1

=

12

\sqrt{\frac{12 + 4 + 16}{7}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

12 + 4

=

16

\sqrt{\frac{16 + 16}{7}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

16 + 16

=

32

\sqrt{\frac{32}{7}}

ⓘ La raíz de un cociente es el cociente de las raíces,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

:

\sqrt{\frac{32}{7}}

=

\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{7}}

\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{7}}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

32

,

16

=

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{32}

=

\sqrt{16 \times 2}

=

\sqrt{16} \times \sqrt{2}

=

4 \times \sqrt{2}

\frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{7}}

Por convenio, preferimos las raíces cuadradas numéricas en el numerador en lugar del denominador:

ⅰ

\frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{7}}

=

\frac{4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{7}}{7}

\frac{4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{7}}{7}

ⓘ El producto de dos raíces cuadradas es la raíz cuadrada del producto:

\sqrt{2} \times \sqrt{7}

=

\sqrt{2 \times 7}

\frac{4 \times \sqrt{2 \times 7}}{7}

ⅰ

2 \times 7

=

14

▶Desviación estándar muestral:

\frac{4 \times \sqrt{14}}{7}

2) El valor numérico de:

\frac{4 \times \sqrt{14}}{7}

es:

\frac{4 \times \approx 3,7417}{7}

\frac{\approx 14,9666}{7}

▷

\approx 2,1381

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