estudia f(x)=x^2-3x

Guardamos la definición:

f (x) = x^{2} - 3 x

Estudiemos la función

f (x) = x^{2} - 3 x

1) Busquemos el dominio de

x^{2} - 3 x

ⓘ Esta expresión no impone restricciones a la variable real

Dominio de definición:

x \in ℝ

2) Estudiemos la paridad de

x^{2} - 3 x

respecto a

x

El dominio es

x \in ℝ

Este dominio es simétrico respecto a 0: si

x

pertenece al dominio, -

x

también

Sustituimos

x

por -

x

: f(-

x

) =

{(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x)

Evaluemos:

{(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Con un exponente entero par, el signo menos de la base desaparece; con un exponente entero impar, pasa delante de la potencia:

{(- x)}^{2}

x^{2}

■Dos signos menos se cancelan:

-3 \cdot (- x)

3 x

x^{2} + 3 x

f(-

x

) - f(

x

) =

6 x

y f(-

x

) + f(

x

) =

2 x^{2}

son polinomios no nulos: la función no es par ni impar

Paridad: ni par ni impar

3) Derivabilidad

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 3 x)

-3

Derivada:

2 x - 3

4) Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = 2 x - 3

Resolvamos en

ℝ

2 x - 3 = 0

ⓘ Sumamos

3

a ambos miembros

2 x = 3

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

Solución obtenida:

x = \frac{3}{2}

f^{'} (x)

se anula en

x = \frac{3}{2}

Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

f^{'} (0) = -3

< 0:

f

es decreciente en

] -∞; \frac{3}{2} [

f^{'} (2) = 1

> 0:

f

es creciente en

] \frac{3}{2}; +∞ [

Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

+∞

f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{9}{4}

Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

Construyamos la tabla de variación:

$x$	$-∞$		$\frac{3}{2}$		$+∞$
$f^{'} (x)$		-	$0$	+
$f (x)$	$+∞$	↘	$- \frac{9}{4}$	↗	$+∞$

Por tanto,

f

es decreciente en

] -∞; \frac{3}{2}]

y creciente en

[\frac{3}{2}; +∞ [

5) Leamos el conjunto imagen en la tabla de variación

⇥En

ℝ

f

es continua: toma todos los valores de

[- \frac{9}{4}; +∞ [

Conjunto imagen:

[- \frac{9}{4}; +∞ [

6) En el eje de abscisas, y = 0: resolvamos

x^{2} - 3 x = 0

Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 3 x = 0

Podemos factorizar la expresión

x^{2} - 3 x

como

x \cdot (x - 3)

Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥6.1) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥Solución obtenida:

x = 0

⇥6.2) Resolvamos en

ℝ

x - 3 = 0

⇥Solución obtenida:

x = 3

En el eje de ordenadas,

x = 0

: calculemos f(0)

⇥

0^{2} - 3 \cdot 0

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

-3 \cdot 0

0

■Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0

0

⇥

0

Intersecciones con los ejes:

{(0; 0); (3; 0)}

7) Busquemos las asíntotas de

x^{2} - 3 x

, para

x

real

x^{2} - 3 x

es un polinomio de grado

2

: está definido en ℝ y

\frac{f (x)}{x}

tiende a infinito en -∞ y +∞; ninguna recta se aproxima a su curva

Por tanto, la función no tiene asíntotas

🖼/draw?f1=x%5E2+-+3*x&v=x&b=-10.0&e=10.0&min=-10.175&max=96.925

Asíntotas:

\emptyset

▶Estudio de $f (x)$ : Dominio de definición: $x \in ℝ$ ; Paridad: ni par ni impar; Derivada: $2 x - 3$ ; Conjunto imagen: $[- \frac{9}{4}; +∞ [$ ; Intersecciones con los ejes: ${(0; 0); (3; 0)}$ ; Asíntotas: $\emptyset$

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