estudia la función (x^2+1)/(x-1)

Estudiemos la función

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

1) Determinemos el dominio de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

Para que la expresión

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

esté definida, debe cumplirse:

x - 1 \neq 0

ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

Solución encontrada:

x \neq 1

Dominio de definición:

x \neq 1

2) Estudiemos la paridad de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

respecto a

x

El dominio es

x \neq 1

Este dominio no es simétrico respecto a 0: la función no es par ni impar

Paridad: ni par ni impar

3) Derivabilidad

⇥Para

p1

x^{2} + 1

q2

x - 1

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥3.1) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥3.2) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (x - 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

1

⇥3.3) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot (x - 1) - (x^{2} + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥

\frac{2 x \cdot (x - 1) - (x^{2} + 1)}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x^{2} + 1)

- x^{2} - 1

⇥

\frac{2 x \cdot (x - 1) - x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

2 x \cdot (x - 1)

2 x^{2} + 2 \cdot (- x)

⇥

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- x) - x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ Colocamos el signo menos delante del producto:

2 \cdot (- x)

- 2 x

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

2 x^{2} - x^{2}

x^{2}

⇥

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥3.4) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1})

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

Derivada:

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

4) Estudiemos la variación de

f (x)

: busquemos primero dónde se anula su derivada

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

Resolvamos en

ℝ

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} = 0

Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥4.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} - 2 x - 1 = 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -2

c = -1

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-1)

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 4 + 4

⇥ⓘ Partimos de

4

y avanzamos

4

en la recta numérica:

4 + 4

8

⇥

Δ = 8

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{8}}{2}

⇥ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

8

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{2})}{2}

1 - \sqrt{2}

⇥

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{8}}{2}

⇥ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

8

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{2}

1 + \sqrt{2}

⇥

x_{2} = 1 + \sqrt{2}

⇥Soluciones obtenidas:

x = {1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}}

⇥4.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

{(x - 1)}^{2} \neq 0

⇥De

{(x - 1)}^{2} \neq 0

deducimos:

x - 1 \neq 0

⇥ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

⇥Condición de definición:

x \neq 1

f^{'} (x)

se anula en

x = {1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}}

Formada por funciones usuales,

f^{'} (x)

es continua donde está definida: en cada intervalo donde no se anula, conserva el signo de su valor en un punto

f^{'} (-1) = \frac{1}{2}

> 0:

f

es creciente en

] -∞; 1 - \sqrt{2} [

f^{'} (0) = -1

< 0:

f

es decreciente en

] 1 - \sqrt{2}; 1 [

f^{'} (2) = -1

< 0:

f

es decreciente en

] 1; 1 + \sqrt{2} [

f^{'} (3) = \frac{1}{2}

> 0:

f

es creciente en

] 1 + \sqrt{2}; +∞ [

Calculemos los valores de

f

en los extremos de la tabla, o sus límites en los extremos infinitos o excluidos

Cuando

x

tiende a

-∞

f (x)

tiende a

-∞

f (1 - \sqrt{2}) = \frac{{(1 - \sqrt{2})}^{2} + 1}{1 - \sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)

Cuando

x

se acerca a

1

por la izquierda,

f (x)

tiende a

-∞

; por la derecha, a

+∞

f (1 + \sqrt{2}) = \frac{{(1 + \sqrt{2})}^{2} + 1}{1 + \sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2})

Cuando

x

tiende a

+∞

f (x)

tiende a

+∞

Construyamos la tabla de variación:

$x$	$-∞$		$1 - \sqrt{2}$		$1$		$1 + \sqrt{2}$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2})$	↗	$+∞$

Por tanto,

f

es creciente en

] -∞; 1 - \sqrt{2}]

, decreciente en

[1 - \sqrt{2}; 1 [

y en

] 1; 1 + \sqrt{2}]

y creciente en

[1 + \sqrt{2}; +∞ [

5) Leamos el conjunto imagen en la tabla de variación

⇥En

] -∞; 1 [

f

es continua: toma todos los valores de

] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)]

⇥En

] 1; +∞ [

f

es continua: toma todos los valores de

[\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [

Conjunto imagen:

] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)] \cup [\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [

6) En el eje de abscisas, y = 0: resolvamos

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = 0

Resolvamos en

ℝ

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = 0

Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥6.1) Resolvamos en

ℝ

x^{2} + 1 = 0

⇥

x^{2} = -1

⇥En ℝ, un cuadrado nunca es negativo: ningún número real tiene

-1

como cuadrado

⇥Solución:

x \in \emptyset

⇥6.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x - 1 \neq 0

⇥Condición de definición:

x \neq 1

La curva no corta el eje de abscisas

En el eje de ordenadas,

x = 0

: calculemos f(0)

⇥

\frac{0^{2} + 1}{0 - 1}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 1

1

0 - 1

-1

■El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{1}{-1}

- \frac{1}{1}

⇥

- \frac{1}{1}

⇥

-1

Intersecciones con los ejes:

(0; -1)

7) Busquemos las asíntotas de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

, para

x

real

Asíntotas verticales: busquemos los valores excluidos, que anulan el denominador. Después debemos comprobar si la curva tiende a infinito cerca de esos valores

⇥7.1) Resolvamos en

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

⇥Solución encontrada:

x = 1

Cuando

x

se acerca a

1

por la izquierda (valores menores), la función tiende a

-∞

; por la derecha (valores mayores), tiende a

+∞

La función tiende a infinito al menos por un lado: la recta

x = 1

es una asíntota vertical

⇥7.2) Comencemos la división euclídea de

(x^{2} + 1)

entre

(x - 1)

⇥

Expresión actual	División de los términos principales	Cociente	Cociente × divisor	Resto tras la resta
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} - x) = x + 1$
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 1 = x - 1$	$(x + 1) - (x - 1) = 2$

⇥Por tanto, el resultado de la división euclídea es:

(x + 1)

La división permite escribir

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = (x + 1) + \frac{2}{x - 1}

: la recta que debemos comprobar es

y = x + 1

Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta debe tender a 0: comprobemos el límite de

\frac{2}{x - 1}

en ambos infinitos

La diferencia tiende a

0

en +∞ y a

0

en -∞: la curva se acerca a la recta en ambos infinitos

La asíntota oblicua es

y = x + 1

, por lo que no hay asíntota horizontal

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=x+%2B+1&b=-9.0&e=11.0&min=-10.0&max=14.0&dash=2,3

Asíntotas:

{x = 1; y = x + 1}

▶Estudio de $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ : Dominio de definición: $x \neq 1$ ; Paridad: ni par ni impar; Derivada: $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ ; Conjunto imagen: $] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)] \cup [\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [$ ; Intersecciones con los ejes: $(0; -1)$ ; Asíntotas: ${x = 1; y = x + 1}$

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