integ(exp(-x), x, [0, +inf])

1) Antes de integrar, calculemos:

\exp (- x)

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

\exp (- x)

\frac{1}{\exp (x)}

\frac{1}{\exp (x)}

2) Calculemos la integral:

\int_{0}^{+∞} \frac{1}{\exp (x)} d x

Para la expresión matemática

\frac{1}{\exp (x)}

, sabiendo que

{(\frac{1}{a^{n}})}^{'} = - \frac{{(n \cdot \ln (a))}^{'}}{a^{n}}

, intentamos derivar

\frac{1}{\exp (x)}

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\exp (x)})

Para

p1

1

q2

\exp (x)

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

4) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (1)

ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d x} (1)

0

0

5) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (\exp (x))

ⓘ La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (x))

\exp (x)

\exp (x)

6) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot \exp (x) - 1 \cdot \exp (x)}{{(\exp (x))}^{2}}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot \exp (x)

0

■En una potencia de una potencia se multiplican los exponentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\exp (x))}^{2}

\exp (x \cdot 2)

\frac{0 - \exp (x)}{\exp (x \cdot 2)}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - \exp (x)

- \exp (x)

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{\exp (x)}{\exp (x \cdot 2)}

- \exp (x - x \cdot 2)

- \exp (x - x \cdot 2)

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x - x \cdot 2

- x

- \exp (- x)

ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \exp (- x)

- \frac{1}{\exp (x)}

- \frac{1}{\exp (x)}

7) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\exp (x)})

- \frac{1}{\exp (x)}

- \frac{1}{\exp (x)}

La derivada calculada y la expresión matemática inicial coinciden salvo un factor constante. Por tanto, la integral es:

ⓘ La derivada de

- \frac{1}{\exp (x)}

\frac{1}{\exp (x)}

, por lo que

- \frac{1}{\exp (x)}

es una primitiva de

\frac{1}{\exp (x)}

\int \frac{1}{\exp (x)} d x

- \frac{1}{\exp (x)}

▷

- \frac{1}{\exp (x)}

Como el extremo

+∞

es infinito, tomamos allí el límite de la primitiva

Calculemos el límite de

- \frac{1}{\exp (x)}

cuando

x \to +∞

ⓘ Es un límite conocido de la función exp

El límite de

\exp (x)

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

Por tanto, el límite de

- \frac{1}{\exp (x)}

0

⁻ cuando

x \to +∞

8) Evaluemos en el intervalo

[0; +∞]

\frac{1}{\exp (0)}

ⓘ Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

\exp (0)

1

▶Integral:

1

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