2x+y=2, 3x-y=4

1) On a les 2 équations :

[1] :

2 x + y = 2

[2] :

3 x - y = 4

2) Cherchons x dans :

2 x + y = 2

[1]

2 x = 2 - y

ⓘ Divisons les deux membres par

2

Solution trouvée [1] :

x = \frac{2 - y}{2}

3) Cherchons y dans :

3 x - y = 4

[2] où

x = \frac{2 - y}{2}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

3 \cdot \frac{2 - y}{2}

\frac{3 \cdot (2 - y)}{2}

\frac{3 \cdot (2 - y)}{2} - y = 4

4) Ajoutons les fractions :

\frac{3 \cdot (2 - y)}{2} - y - 4 = 0

ⓘ On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

\frac{3 \cdot (2 - y)}{2} - y

\frac{3 \cdot (2 - y) - y \cdot 2}{2}

\frac{3 \cdot (2 - y) - y \cdot 2}{2} - 4 = 0

ⓘ On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

\frac{3 \cdot (2 - y) - y \cdot 2}{2} - 4

\frac{(3 \cdot (2 - y) - y \cdot 2) - 4 \cdot 2}{2}

\frac{(3 \cdot (2 - y) - y \cdot 2) - 4 \cdot 2}{2} = 0

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

\frac{3 \cdot (2 - y) - y \cdot 2 - 8}{2} = 0

⇥

3 \cdot (2 - y) - y \cdot 2 - 8 = 0

⇥ⓘ On multiplie chaque terme de la somme par l’autre facteur : c’est la distributivité :

3 \cdot (2 - y)

6 + 3 \cdot (- y)

⇥

6

+ 3 \cdot (- y)

- y \cdot 2

- 8 = 0

⇥ⓘ On écrit le signe moins devant le produit :

3 \cdot (- y)

- 3 y

■On part de

6

et on recule de

8

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

6 - 8

-2

⇥

- 2 - 3 y - y \cdot 2 = 0

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 y - y \cdot 2

-5 y

⇥

- 2 - 5 y = 0

⇥ⓘ Ajoutons

2

aux deux membres

⇥

- 5 y = 2

⇥ⓘ Divisons les deux membres par

-5

⇥

y = \frac{2}{-5}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{2}{-5}

- \frac{2}{5}

⇥Solution trouvée [2] :

y = - \frac{2}{5}

5) On trouve la valeur de x grâce à :

x = \frac{2 - y}{2}

où

y = - \frac{2}{5}

x = \frac{2 + \frac{2}{5}}{2}

ⓘ On additionne des fractions en les mettant au même dénominateur, puis en additionnant leurs numérateurs :

2 + \frac{2}{5}

\frac{5 \cdot 2 + 2}{5}

x = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 2}{5}}{2}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 2

10

x = \frac{\frac{10 + 2}{5}}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 + 2

12

x = \frac{\frac{12}{5}}{2}

ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{12}{5}}{2}

\frac{12}{5 \cdot 2}

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{12}{5 \cdot 2}

\frac{6}{5}

Solution trouvée :

x = \frac{6}{5}

▶Solution :

{x = \frac{6}{5}; y = - \frac{2}{5}}

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