asymptotes de (x^2+1)/(x-1)

1) Cherchons les asymptotes de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ Ajoutons

1

aux deux membres

⇥Solution obtenue :

x = 1

Lorsque

x

s'approche de

1

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 1

est donc une asymptote verticale

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(x^{2} + 1)

par

(x - 1)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} - x) = x + 1$
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 1 = x - 1$	$(x + 1) - (x - 1) = 2$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

(x + 1)

La division permet d'écrire

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = (x + 1) + \frac{2}{x - 1}

: la droite à tester est

y = x + 1

Pour une asymptote oblique, l'écart entre la fonction et la droite doit tendre vers 0 : vérifions la limite de

\frac{2}{x - 1}

aux deux infinis

L'écart tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞ : la courbe se rapproche donc de la droite aux deux infinis

L'asymptote oblique est

y = x + 1

, donc il n'y a pas d'asymptote horizontale

▶Asymptotes :

{x = 1; y = x + 1}

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=x+%2B+1&b=-9.0&e=11.0&min=-10.0&max=14.0&dash=2,3

100% gratuit

Simple

Fiable et sobre

Pour tous