coth(ln(2))

La cotangente hyperbolique est lue

\coth (u) = \frac{\cosh (u)}{\sinh (u)}

, sur chaque intervalle où

\sinh (u) \neq 0

1) Évaluons :

\frac{\cosh (\ln (2))}{\sinh (\ln (2))}

On remplace cosh par sa définition :

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

On remplace sinh par sa définition :

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

ⅰ

\sinh (\ln (2))

\frac{e^{\ln (2)} - e^{- \ln (2)}}{2}

\frac{\frac{e^{\ln (2)} + e^{- \ln (2)}}{2}}{\frac{e^{\ln (2)} - e^{- \ln (2)}}{2}}

ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (2)}

2

e^{- \ln (2)}

e^{\ln (\frac{1}{2})}

\frac{\frac{2 + e^{\ln (\frac{1}{2})}}{2}}{\frac{2 - e^{\ln (\frac{1}{2})}}{2}}

ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{1}{2})}

\frac{1}{2}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

2 + \frac{1}{2}

\frac{2 \times 2 + 1}{2}

2 - \frac{1}{2}

\frac{2 \times 2 - 1}{2}

\frac{\frac{\frac{2 \times 2 + 1}{2}}{2}}{\frac{\frac{2 \times 2 - 1}{2}}{2}}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \times 2

4

\frac{\frac{\frac{4 + 1}{2}}{2}}{\frac{\frac{4 - 1}{2}}{2}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 1

5

4 - 1

3

\frac{\frac{\frac{5}{2}}{2}}{\frac{\frac{3}{2}}{2}}

ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{5}{2}}{2}

\frac{5}{2 \times 2}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

\frac{3}{2 \times 2}

■Pour diviser, on multiplie par l'inverse du diviseur :

\frac{\frac{5}{2 \times 2}}{\frac{3}{2 \times 2}}

\frac{5}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 2}{3}

\frac{5}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 2}{3}

ⅰ

2 \times 2

4

\frac{5}{4} \times \frac{4}{3}

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{5}{4} \times \frac{4}{3}

\frac{5 \times 4}{4 \times 3}

\frac{20}{12}

\frac{20}{12}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{20}{12}

\frac{5 \times 4}{3 \times 4}

\frac{5}{3}

▶Résultat :

\frac{5}{3}

2) La valeur numérique de :

\frac{5}{3}

est :

▷

\approx 1,6667

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