écart type corrigé de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

La moyenne des 8 valeurs est leur somme divisée par 8 :

\frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5

Pour un échantillon, la variance est la somme des carrés des écarts à la moyenne

5

divisée par le nombre de valeurs moins un, 7, et l'écart type est sa racine carrée

1) Calculons :

\sqrt{\frac{{(2 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(4 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(7 - 5)}^{2} + {(9 - 5)}^{2}}{7}}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

2 - 5

=

-3

,

4 - 5

=

-1

,

5 - 5

=

0

,

7 - 5

=

2

,

9 - 5

=

4

\sqrt{\frac{{(-3)}^{2} + {(-1)}^{2} + {(-1)}^{2} + {(-1)}^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 2^{2} + 4^{2}}{7}}

ⓘ On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier strictement positif, une puissance correspond à un produit répété :

{(-3)}^{2}

=

(-3) \times (-3)

=

9

,

{(-1)}^{2}

=

(-1) \times (-1)

=

1

,

2^{2}

=

2 \times 2

=

4

,

4^{2}

=

4 \times 4

=

16

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 0 + 2^{2}

=

2^{2}

\sqrt{\frac{9 + 1 + 1 + 1 + 4 + 16}{7}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 + 1

=

10

\sqrt{\frac{10 + 1 + 1 + 4 + 16}{7}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 + 1

=

11

\sqrt{\frac{11 + 1 + 4 + 16}{7}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

11 + 1

=

12

\sqrt{\frac{12 + 4 + 16}{7}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 + 4

=

16

\sqrt{\frac{16 + 16}{7}}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

16 + 16

=

32

\sqrt{\frac{32}{7}}

ⓘ La racine d'un quotient est le quotient des racines,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

:

\sqrt{\frac{32}{7}}

=

\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{7}}

\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{7}}

ⓘ Cherchons le plus grand carré qui divise

32

,

16

=

4^{2}

, et sortons-le de la racine :

\sqrt{32}

=

\sqrt{16 \times 2}

=

\sqrt{16} \times \sqrt{2}

=

4 \times \sqrt{2}

\frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{7}}

Par convention, on préfère placer les racines carrées numériques au numérateur :

ⅰ

\frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{7}}

=

\frac{4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{7}}{7}

\frac{4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{7}}{7}

ⓘ Le produit de deux racines carrées est la racine carrée du produit :

\sqrt{2} \times \sqrt{7}

=

\sqrt{2 \times 7}

\frac{4 \times \sqrt{2 \times 7}}{7}

ⅰ

2 \times 7

=

14

▶Écart type corrigé :

\frac{4 \times \sqrt{14}}{7}

2) La valeur numérique de :

\frac{4 \times \sqrt{14}}{7}

vaut :

\frac{4 \times \approx 3,7417}{7}

\frac{\approx 14,9666}{7}

▷

\approx 2,1381

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