étudie f(x)=x^2-3x

On enregistre la définition :

f (x) = x^{2} - 3 x

Examinons la fonction

f (x) = x^{2} - 3 x

1) Cherchons le domaine de

x^{2} - 3 x

ⓘ Cette expression n'impose aucune restriction sur la variable réelle

Domaine de définition :

x \in ℝ

2) Examinons la parité de

x^{2} - 3 x

par rapport à

x

Le domaine est

x \in ℝ

Ce domaine est symétrique par rapport à 0 : si

x

est dans le domaine, -

x

y est aussi

On remplace

x

par -

x

: f(-

x

) =

{(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x)

Calculons :

{(- x)}^{2} - 3 \cdot (- x)

ⓘ On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- x)}^{2}

x^{2}

■Deux signes moins s'annulent :

-3 \cdot (- x)

3 x

x^{2} + 3 x

f(-

x

) - f(

x

) =

6 x

et f(-

x

) + f(

x

) =

2 x^{2}

sont des polynômes non nuls : la fonction n'est ni paire ni impaire

Parité : ni paire ni impaire

3) Dérivabilité

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)

ⓘ En dérivant

x^{n}

, on obtient

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■La dérivée d'un produit par une constante conserve ce facteur : celle de

k u

est

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 3 x)

-3

Dérivée :

2 x - 3

4) Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = 2 x - 3

s'annule

Effectuons la résolution dans

ℝ

2 x - 3 = 0

ⓘ On ajoute

3

aux deux membres

2 x = 3

ⓘ On divise les deux membres par

2

Solution obtenue :

x = \frac{3}{2}

f^{'} (x)

s'annule en

x = \frac{3}{2}

Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

f^{'} (0) = -3

< 0 :

f

est décroissante sur

] -∞; \frac{3}{2} [

f^{'} (2) = 1

> 0 :

f

est croissante sur

] \frac{3}{2}; +∞ [

Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

+∞

f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{9}{4}

Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

Construisons le tableau de variations :

$x$	$-∞$		$\frac{3}{2}$		$+∞$
$f^{'} (x)$		-	$0$	+
$f (x)$	$+∞$	↘	$- \frac{9}{4}$	↗	$+∞$

Donc

f

est décroissante sur

] -∞; \frac{3}{2}]

et croissante sur

[\frac{3}{2}; +∞ [

5) Lisons l'ensemble image dans le tableau de variations

⇥Sur

ℝ

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

[- \frac{9}{4}; +∞ [

Ensemble image :

[- \frac{9}{4}; +∞ [

6) Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

x^{2} - 3 x = 0

Effectuons la résolution dans

ℝ

x^{2} - 3 x = 0

On peut écrire l'expression :

x^{2} - 3 x

sous la forme factorisée :

x \cdot (x - 3)

Un produit est nul exactement quand au moins un de ses facteurs est nul : on résout donc chaque facteur égal à 0

⇥6.1) Effectuons la résolution dans

ℝ

x = 0

⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥6.2) Effectuons la résolution dans

ℝ

x - 3 = 0

⇥Solution obtenue :

x = 3

Sur l'axe des ordonnées,

x = 0

: calculons f(0)

⇥

0^{2} - 3 \cdot 0

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

-3 \cdot 0

0

■Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

0 + 0

0

⇥

0

Intersections avec les axes :

{(0; 0); (3; 0)}

7) Déterminons les asymptotes de

x^{2} - 3 x

, pour

x

réel

x^{2} - 3 x

est un polynôme de degré

2

: il est défini sur ℝ et

\frac{f (x)}{x}

tend vers l'infini en -∞ et en +∞, aucune droite ne s'approche de sa courbe

La fonction n'a donc aucune asymptote

🖼/draw?f1=x%5E2+-+3*x&v=x&b=-10.0&e=10.0&min=-10.175&max=96.925

Asymptotes :

\emptyset

▶Étude de $f (x)$ : Domaine de définition : $x \in ℝ$ ; Parité : ni paire ni impaire ; Dérivée : $2 x - 3$ ; Ensemble image : $[- \frac{9}{4}; +∞ [$ ; Intersections avec les axes : ${(0; 0); (3; 0)}$ ; Asymptotes : $\emptyset$

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