étudie la fonction (x^2+1)/(x-1)

Examinons la fonction

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

1) Évaluons le domaine de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

Pour que l'expression

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

soit définie, on doit avoir :

x - 1 \neq 0

ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

Solution trouvée :

x \neq 1

Domaine de définition :

x \neq 1

2) Étudions la parité de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

par rapport à

x

On obtient le domaine

x \neq 1

Ce domaine n'est pas symétrique par rapport à 0 : la fonction n'est ni paire ni impaire

Parité : ni paire ni impaire

3) Dérivabilité

⇥Pour

p1

x^{2} + 1

q2

x - 1

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥3.1) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

⇥ⓘ On dérive une somme en dérivant chacun de ses termes, puis en additionnant les dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■En dérivant

x^{n}

, on obtient

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥3.2) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (x - 1)

⇥ⓘ On dérive une somme en dérivant chacun de ses termes, puis en additionnant les dérivées :

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

1 + 0

1

⇥

1

⇥3.3) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{2 x \cdot (x - 1) - (x^{2} + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥

\frac{2 x \cdot (x - 1) - (x^{2} + 1)}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x^{2} + 1)

- x^{2} - 1

⇥

\frac{2 x \cdot (x - 1) - x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ On développe par distributivité en multipliant chaque terme de la somme par l'autre facteur :

2 x \cdot (x - 1)

2 x^{2} + 2 \cdot (- x)

⇥

\frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- x) - x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- x)

- 2 x

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x^{2} - x^{2}

x^{2}

⇥

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

⇥3.4) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1})

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

Dérivée :

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

4) Examinons les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}

s'annule

Effectuons la résolution dans

ℝ

\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} = 0

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥4.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 2 x - 1 = 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = -1

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

⇥ⓘ On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier strictement positif, une puissance correspond à un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-1)

⇥ⓘ On effectue les multiplications avant les additions et les soustractions. Dans un produit, deux signes moins s'annulent : multiplier deux nombres négatifs donne un nombre positif :

- 4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 4 + 4

⇥ⓘ On part de

4

et on avance de

4

sur la droite des nombres :

4 + 4

8

⇥

Δ = 8

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{8}}{2}

⇥ⓘ Cherchons le plus grand carré qui divise

8

4

2^{2}

, et sortons-le de la racine :

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

x_{1} = \frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{2 - 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 - \sqrt{2})}{2}

1 - \sqrt{2}

⇥

x_{1} = 1 - \sqrt{2}

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{8}}{2}

⇥ⓘ Cherchons le plus grand carré qui divise

8

4

2^{2}

, et sortons-le de la racine :

\sqrt{8}

\sqrt{4 \cdot 2}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

⇥

x_{2} = \frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{2 + 2 \cdot \sqrt{2}}{2}

\frac{2 \cdot (1 + \sqrt{2})}{2}

1 + \sqrt{2}

⇥

x_{2} = 1 + \sqrt{2}

⇥Solutions trouvées :

x = {1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}}

⇥4.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

{(x - 1)}^{2} \neq 0

⇥De

{(x - 1)}^{2} \neq 0

, on déduit :

x - 1 \neq 0

⇥ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

⇥Condition de définition :

x \neq 1

f^{'} (x)

s'annule en

x = {1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}}

Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

f^{'} (-1) = \frac{1}{2}

> 0 :

f

est croissante sur

] -∞; 1 - \sqrt{2} [

f^{'} (0) = -1

< 0 :

f

est décroissante sur

] 1 - \sqrt{2}; 1 [

f^{'} (2) = -1

< 0 :

f

est décroissante sur

] 1; 1 + \sqrt{2} [

f^{'} (3) = \frac{1}{2}

> 0 :

f

est croissante sur

] 1 + \sqrt{2}; +∞ [

Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

Lorsque

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-∞

f (1 - \sqrt{2}) = \frac{{(1 - \sqrt{2})}^{2} + 1}{1 - \sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)

Quand

x

s'approche de

1

par la gauche,

f (x)

tend vers

-∞

; par la droite, vers

+∞

f (1 + \sqrt{2}) = \frac{{(1 + \sqrt{2})}^{2} + 1}{1 + \sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2})

Lorsque

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

Dressons le tableau de variations :

$x$	$-∞$		$1 - \sqrt{2}$		$1$		$1 + \sqrt{2}$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2})$	↗	$+∞$

Donc

f

est croissante sur

] -∞; 1 - \sqrt{2}]

, décroissante sur

[1 - \sqrt{2}; 1 [

et sur

] 1; 1 + \sqrt{2}]

et croissante sur

[1 + \sqrt{2}; +∞ [

5) Lisons l'ensemble image dans le tableau de variations

⇥Sur

] -∞; 1 [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)]

⇥Sur

] 1; +∞ [

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

[\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [

Ensemble image :

] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)] \cup [\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [

6) Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = 0

Effectuons la résolution dans

ℝ

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = 0

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥6.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} + 1 = 0

⇥

x^{2} = -1

⇥Dans ℝ, un carré n'est jamais négatif : aucun nombre réel n'a pour carré

-1

⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥6.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x - 1 \neq 0

⇥Condition de définition :

x \neq 1

La courbe ne coupe pas l'axe des abscisses

Sur l'axe des ordonnées,

x = 0

: calculons f(0)

⇥

\frac{0^{2} + 1}{0 - 1}

⇥ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

0 + 1

1

0 - 1

-1

■Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{1}{-1}

- \frac{1}{1}

⇥

- \frac{1}{1}

⇥

-1

Intersections avec les axes :

(0; -1)

7) Déterminons les asymptotes de

\frac{x^{2} + 1}{x - 1}

, pour

x

réel

Asymptotes verticales : cherchons les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur. Il faut ensuite vérifier si la courbe part à l'infini près de ces valeurs

⇥7.1) Résolvons dans

ℝ

x - 1 = 0

⇥ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

⇥Solution trouvée :

x = 1

Lorsque

x

s'approche de

1

par la gauche (valeurs inférieures), la fonction tend vers

-∞

; par la droite (valeurs supérieures), elle tend vers

+∞

La fonction tend vers l'infini au moins d'un côté : la droite

x = 1

est donc une asymptote verticale

⇥7.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{2} + 1)

par

(x - 1)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{2} + 1$	$\frac{x^{2}}{x}$	$x$	$x \cdot (x - 1) = x^{2} - x$	$(x^{2} + 1) - (x^{2} - x) = x + 1$
$x + 1$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 1 = x - 1$	$(x + 1) - (x - 1) = 2$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

(x + 1)

La division permet d'écrire

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = (x + 1) + \frac{2}{x - 1}

: la droite à tester est

y = x + 1

Pour une asymptote oblique, l'écart entre la fonction et la droite doit tendre vers 0 : vérifions la limite de

\frac{2}{x - 1}

aux deux infinis

L'écart tend vers

0

en +∞ et vers

0

en -∞ : la courbe se rapproche donc de la droite aux deux infinis

L'asymptote oblique est

y = x + 1

, donc il n'y a pas d'asymptote horizontale

🖼/draw?f1=%28x%5E2+%2B+1%29%2F%28x+-+1%29&v=x&x2=1&f3=x+%2B+1&b=-9.0&e=11.0&min=-10.0&max=14.0&dash=2,3

Asymptotes :

{x = 1; y = x + 1}

▶Étude de $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ : Domaine de définition : $x \neq 1$ ; Parité : ni paire ni impaire ; Dérivée : $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ ; Ensemble image : $] -∞; \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 2)] \cup [\sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}); +∞ [$ ; Intersections avec les axes : $(0; -1)$ ; Asymptotes : ${x = 1; y = x + 1}$

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