expand((1+x)^3)

Mettons sous forme développée : ${(1+x)}^3$

En utilisant la formule du binôme de Newton : ${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)a^{n-k}{b}^k$, on développe l'expression mathématique :

ⅰ ${(1+x)}^3$ = $\frac{3!}{3!·0!}·1^3·x^0$$+\frac{3!}{2!·1!}·1^2·x^1$$+\frac{3!}{1!·2!}·1^1·x^2$$+\frac{3!}{0!·3!}·1^0·x^3$

$\frac{3!}{3!·0!}·1^3·x^0$$+\frac{3!}{2!·1!}·1^2·x^1$$+\frac{3!}{1!·2!}·1^1·x^2$$+\frac{3!}{0!·3!}·1^0·x^3$

ⓘ Élever un nombre non nul à la puissance 0 donne 1. Dans ce calcul, on adopte la convention $0^0=1$ : $x^0$ = $1$■Élever un nombre non nul à la puissance 0 donne 1 : $1^0$ = $1$

$\frac{3!}{3!·0!}$$+\frac{3!}{2!·1!}·x$$+\frac{3!}{1!·2!}·x^2$$+\frac{3!}{0!·3!}·x^3$

ⓘ La factorielle d'un entier strictement positif se calcule en multipliant tous les entiers de 1 à cet entier : $3!$ = $6$, $2!$ = $2$, $1!$ = $1$■On définit la factorielle de 0 comme étant 1 : $0!$ = $1$■Multiplier par 1 ne change rien : $6·1$ = $6$, $2·1$ = $2$, $1·2$ = $2$, $1·6$ = $6$

$\frac{6}{6}$$+\frac{6}{2}·x$$+\frac{6}{2}·x^2$$+\frac{6}{6}·x^3$

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par $6$, leur plus grand diviseur commun : $\frac{6}{6}$ = $1$■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par $2$, leur plus grand diviseur commun : $\frac{6}{2}$ = $3$■Multiplier par 1 ne change rien : $1·x^3$ = $x^3$

$1$$+3x$$+3x^2$$+x^3$

▶Forme développée :   $x^3$$+3x^2$$+3x$$+1$