integ(exp(-x), x, [0, +inf])

1) Avant d'intégrer, calculons :

\exp (- x)

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

\exp (- x)

\frac{1}{\exp (x)}

\frac{1}{\exp (x)}

2) Intégrons :

\int_{0}^{+∞} \frac{1}{\exp (x)} d x

Pour l'expression mathématique :

\frac{1}{\exp (x)}

, puisque

{(\frac{1}{a^{n}})}^{'} = - \frac{{(n \cdot \ln (a))}^{'}}{a^{n}}

, essayons de dériver

\frac{1}{\exp (x)}

3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\exp (x)})

Pour

p1

1

q2

\exp (x)

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

4) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (1)

ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d x} (1)

0

0

5) Dérivons

q2

\frac{d}{d x} (\exp (x))

ⓘ En dérivant

\exp (x)

, on obtient

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (x))

\exp (x)

\exp (x)

6) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{0 \cdot \exp (x) - 1 \cdot \exp (x)}{{(\exp (x))}^{2}}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot \exp (x)

0

■Une puissance de puissance multiplie les exposants,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\exp (x))}^{2}

\exp (x \cdot 2)

\frac{0 - \exp (x)}{\exp (x \cdot 2)}

ⓘ Ajouter 0 conserve la valeur initiale :

0 - \exp (x)

- \exp (x)

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

- \frac{\exp (x)}{\exp (x \cdot 2)}

- \exp (x - x \cdot 2)

- \exp (x - x \cdot 2)

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x - x \cdot 2

- x

- \exp (- x)

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- \exp (- x)

- \frac{1}{\exp (x)}

- \frac{1}{\exp (x)}

7) Ensuite, on continue la dérivation :

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\exp (x)})

- \frac{1}{\exp (x)}

- \frac{1}{\exp (x)}

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

ⓘ La dérivée de

- \frac{1}{\exp (x)}

est

\frac{1}{\exp (x)}

, donc

- \frac{1}{\exp (x)}

est une primitive de

\frac{1}{\exp (x)}

\int \frac{1}{\exp (x)} d x

- \frac{1}{\exp (x)}

▷

- \frac{1}{\exp (x)}

À la borne infinie

+∞

, la primitive vaut sa limite

Évaluons la limite de

- \frac{1}{\exp (x)}

quand

x \to +∞

ⓘ On utilise une limite de référence de la fonction exp

La limite de

\exp (x)

est

+∞

quand

x \to +∞

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

Donc la limite de

- \frac{1}{\exp (x)}

est

0

⁻ quand

x \to +∞

8) Évaluons pour l'intervalle

[0; +∞]

\frac{1}{\exp (0)}

ⓘ Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 :

\exp (0)

1

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1

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