integrale de 2/3 x^{3/2}-9sin(x) — solution étape par étape

⚠Ⓘ 2/3 x^{3/2}-9sin(x) est lu comme (2/3)*x^(3/2)-9sin(x) : utilisez des parenthèses autour du dénominateur pour y inclure le facteur suivant, utilisez ^(...) pour grouper un exposant, utilisez * pour multiplier

1) Avant d'intégrer, calculons :

\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} - 9 \cdot \sin (x)

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x)

2) Calculons l'intégrale :

\int(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x))dx

Pour l'expression mathématique :

- 9 \cdot \sin (x)

, connaissant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (\cos (a)) = - \sin (a)

, on peut essayer de dériver avec la fonction cos

3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

9 \cdot \cos (x) + \int(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3})dx

Pour

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

, on utilise la formule d'intégration :

\int(x^{n})dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{(\frac{3}{2} + 1)}}{\frac{3}{2} + 1}

ℹ

\frac{2}{3} \cdot \frac{x^{(\frac{3}{2} + 1)}}{\frac{3}{2} + 1}

\frac{2 x^{(\frac{3}{2} + 1)}}{3 \cdot (\frac{3}{2} + 1)}

‖

\frac{3}{2} + 1

\frac{3 + 2}{2}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2 x^{(\frac{3 + 2}{2})}}{3 \cdot \frac{3 + 2}{2}}

ℹ

3 + 2

5

‖

3 \cdot \frac{3 + 2}{2}

\frac{3 \cdot (3 + 2)}{2}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{\frac{3 \cdot 5}{2}}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{\frac{15}{2}}

9 \cdot \cos (x) + 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{15}

9 \cdot \cos (x) + \frac{4}{15} \cdot x^{\frac{5}{2}}

9 \cdot \cos (x) + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + 9 \cdot \cos (x) + C