integrale de t^2e^{-4t} — solution étape par étape

⚠ t^2e^{-4t} est lu comme t^2e^(-4t) : utilisez ^(...) pour grouper un exposant, utilisez * pour multiplier

Avant d'intégrer, calculons :

t^{2} e^{(-4 t)}

\frac{t^{2}}{e^{(4 t)}}

Intégrons :

\int(\frac{t^{2}}{e^{(4 t)}})dt

Une primitive de

e^{(- 4 t)}

est

- \frac{1}{e^{(4 t)} \cdot 4}

. On répète la formule

\int(t^{2} e^{(- 4 t)})dt = t^{2} \cdot (- \frac{1}{e^{(4 t)} \cdot 4}) - \int(2 t \cdot (- \frac{1}{e^{(4 t)} \cdot 4}))dt

On intègre par parties en dérivant le polynôme et en intégrant l'exponentielle. Chaque dérivation abaisse le degré, jusqu'à zéro

Après 0 dérivation, le polynôme est

t^{2}

; sa contribution à la primitive est

e^{(- 4 t)} \cdot (- \frac{t^{2}}{4})

Après 1 dérivation, le polynôme est

2 t

; sa contribution à la primitive est

e^{(- 4 t)} \cdot (- \frac{2 t}{16})

Après 2 dérivations, le polynôme est

2

; sa contribution à la primitive est

e^{(- 4 t)} \cdot (- \frac{2}{64})

La dérivée suivante est nulle : on additionne les contributions au même dénominateur, en gardant l'exponentielle à part :

- \frac{t^{2}}{4} - \frac{2 t}{16} - \frac{2}{64}

\frac{- 16 t^{2} - 4 \cdot 2 t - 2}{64}

- \frac{16 t^{2} + 8 t + 2}{64}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32}

On remet le facteur exponentiel :

e^{(- 4 t)} \cdot \frac{- 8 t^{2} - 4 t - 1}{32}

\frac{e^{(- 4 t)} \cdot (- (8 t^{2} + 4 t + 1))}{32}

- \frac{e^{(- 4 t)} \cdot (8 t^{2} + 4 t + 1)}{32}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{e^{(4 t)} \cdot 32}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{(4 t)}} + C