integrale de x/(1-2x) — solution étape par étape

1) Intégrons :

\int(\frac{x}{1 - 2 x})dx

Calculons le quotient et le reste de

(x)

par

(- 2 x + 1)

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x$	$\frac{x}{- 2 x}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2} \cdot (- 2 x + 1) = x - \frac{1}{2}$	$x - (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Donc le résultat de la division euclidienne est :

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{- 2 x + 1}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2 x + 1}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot (- 2 x + 1)}

\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2}

2) Intégrons :

\int(\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2})dx

\int(\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)})dx - \int(\frac{1}{2})dx

On pose

u = 2 - 4 x

. Alors

du = -4 dx

, donc

dx = \frac{du}{-4}

\int(\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)})dx = - \frac{1}{4} \cdot \int(\frac{1}{u})du

On utilise

\int(\frac{1}{u})du = \ln | u |

. La valeur absolue permet de traiter les deux signes du dénominateur, sur tout intervalle où

2 - 4 x \neq 0

On remplace

u

par

2 - 4 x

dans la primitive

ℹ

\int(\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)})dx

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

‖

- \int(\frac{1}{2})dx

- \frac{1}{2} \cdot x

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x | - \frac{1}{2} \cdot x

ℹ

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

- \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4}

‖

- \frac{1}{2} \cdot x

- \frac{x}{2}

‖

- \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4} - \frac{x}{2}

\frac{- \ln | 2 - 4 x | + 2 \cdot (- x)}{4}

\frac{- \ln | 2 - 4 x | + 2 \cdot (- x)}{4}

- \frac{\ln | 2 - 4 x | + 2 x}{4}

▶Les intégrales indéfinies sont définies à une constante additive près C, ce qui donne :

- \frac{2 x + \ln | 2 - 4 x |}{4} + C